Algebra Beispiele

$f (x, y) = 3 x + 2 y$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x, y) - 3 x - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.4.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ und $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot ((f x, f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{d}{d x} ((f x, f y))]$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x} \cdot (f x, f y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $\frac{1}{x}$ mit jedem Element der Matrix.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (f x), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((\frac{1}{x} \cdot (x f), \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{1}{x} \cdot (f y))) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Schritt 2.2.3.2.1

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f}{x} \cdot y)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{f}{x}$ und $y$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x})) + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $\frac{d}{d x} [(f, \frac{f y}{x})]$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ((f, \frac{f y}{x}))$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $f (x, y) - 3 x - 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [f (x, y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $f$ mit jedem Element der Matrix.

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Schritt 4.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + \frac{d}{d x} [- 2 y]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.4.1

Da $- 2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3 + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $\frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} [(f x, f y)] - 3$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{d}{d x} ((f x, f y)) - 3 = 0$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $d$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x} \cdot (f x, f y) - 3 = 0$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\frac{1}{x}$ mit jedem Element der Matrix.

$(\frac{1}{x} (f x), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $f x$ heraus.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\frac{1}{x} (x f), \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Schritt 5.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(f, \frac{1}{x} (f y)) - 3 = 0$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $\frac{1}{x} (f y)$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kombiniere $f$ und $\frac{1}{x}$ .

$(f, \frac{f}{x} y) - 3 = 0$

Schritt 5.2.3.2.2

Kombiniere $\frac{f}{x}$ und $y$ .

$(f, \frac{f y}{x}) - 3 = 0$

Schritt 5.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(f, \frac{f y}{x}) = 3$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{d}{d x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$d x = 0$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $d x = 0$ durch $x$ .

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{x} = \frac{0}{x}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $d$ durch $1$ .

$d = \frac{0}{x}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $0$ durch $x$ .

$d = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{d}{d (0)} ((f, \frac{f y}{0}))$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Mutltipliziere $d$ mit $0$ .

$\frac{d}{0} (f, \frac{f y}{0})$

Schritt 9.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 10

Da der erste Ableitungstest nicht erfolgreich war, gibt es kein lokales Extremum.

Keine lokalen Extrema

Schritt 11