Algebra Beispiele

$\begin{array}{c} x & y \\ - 9 & - 2 \\ - 5 & - 7 \\ - 1 & - 12 \end{array}$

Schritt 1

Prüfe, ob die Funktionsregel linear ist.

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Schritt 1.1

Um zu ermitteln, ob die Tabelle einer Funktionsregel folgt, prüfe, ob die Werte der linearen Form $y = a x + b$ folgen.

$y = a x + b$

Schritt 1.2

Erzeuge eine Menge von Gleichungen aus der Tabelle, sodass $y = a x + b$ .

$- 2 = a (- 9) + b - 7 = a (- 5) + b - 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3

Berechne die Werte von $a$ und $b$ .

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Schritt 1.3.1

Löse in $- 2 = a (- 9) + b$ nach $b$ auf.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a (- 9) + b = - 2$ um.

$a (- 9) + b = - 2$

$- 7 = a (- 5) + b$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 9 a + b = - 2$

$- 7 = a (- 5) + b$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.1.3

Addiere $9 a$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$b = - 2 + 9 a$

$- 7 = a (- 5) + b$

$- 12 = a (- 1) + b$

$b = - 2 + 9 a$

$- 7 = a (- 5) + b$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $- 2 + 9 a$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.2.1

Ersetze alle $b$ in $- 7 = a (- 5) + b$ durch $- 2 + 9 a$ .

$- 7 = a (- 5) - 2 + 9 a$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.2.2

Vereinfache $- 7 = a (- 5) - 2 + 9 a$ .

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Schritt 1.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$- 7 = a (- 5) - 2 + 9 a$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

$- 7 = a (- 5) - 2 + 9 a$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.2.2.1

Vereinfache $a (- 5) - 2 + 9 a$ .

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Schritt 1.3.2.2.2.1.1

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 7 = - 5 a - 2 + 9 a$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.2.2.2.1.2

Addiere $- 5 a$ und $9 a$ .

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) + b$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $b$ in $- 12 = a (- 1) + b$ durch $- 2 + 9 a$ .

$- 12 = a (- 1) - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.2.4

Vereinfache $- 12 = a (- 1) - 2 + 9 a$ .

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Schritt 1.3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$- 12 = a (- 1) - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = a (- 1) - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.2.4.2.1

Vereinfache $a (- 1) - 2 + 9 a$ .

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Schritt 1.3.2.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.4.2.1.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 12 = - 1 a - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.2.4.2.1.1.2

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$- 12 = - a - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = - a - 2 + 9 a$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.2.4.2.1.2

Addiere $- a$ und $9 a$ .

$- 12 = 8 a - 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = 8 a - 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = 8 a - 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = 8 a - 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$- 12 = 8 a - 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3

Löse in $- 12 = 8 a - 2$ nach $a$ auf.

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Schritt 1.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $8 a - 2 = - 12$ um.

$8 a - 2 = - 12$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$8 a = - 12 + 2$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.2.2

Addiere $- 12$ und $2$ .

$8 a = - 10$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$8 a = - 10$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $8 a = - 10$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 1.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $8 a = - 10$ durch $8$ .

$\frac{8 a}{8} = \frac{- 10}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 1.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 a}{8} = \frac{- 10}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{- 10}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = \frac{- 10}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = \frac{- 10}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $8$ .

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Schritt 1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$a = \frac{2 (- 5)}{8}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$a = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{- 5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = \frac{- 5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = \frac{- 5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.3.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = - \frac{5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = - \frac{5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

$a = - \frac{5}{4}$

$- 7 = 4 a - 2$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{5}{4}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.3.4.1

Ersetze alle $a$ in $- 7 = 4 a - 2$ durch $- \frac{5}{4}$ .

$- 7 = 4 (- \frac{5}{4}) - 2$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.2.1

Vereinfache $4 (- \frac{5}{4}) - 2$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.4.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$- 7 = 4 (\frac{- 5}{4}) - 2$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 7 = 4 (\frac{- 5}{4}) - 2$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 7 = - 5 - 2$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

$- 7 = - 5 - 2$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4.2.1.2

Subtrahiere $2$ von $- 5$ .

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + 9 a$

Schritt 1.3.4.3

Ersetze alle $a$ in $b = - 2 + 9 a$ durch $- \frac{5}{4}$ .

$b = - 2 + 9 (- \frac{5}{4})$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.4.4.1

Vereinfache $- 2 + 9 (- \frac{5}{4})$ .

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Schritt 1.3.4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.4.1.1.1

Multipliziere $9 (- \frac{5}{4})$ .

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Schritt 1.3.4.4.1.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$b = - 2 - 9 (\frac{5}{4})$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.1.1.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{5}{4}$ .

$b = - 2 + \frac{- 9 \cdot 5}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.1.1.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $5$ .

$b = - 2 + \frac{- 45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 + \frac{- 45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - 2 - \frac{45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - 2 - \frac{45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$b = - 2 \cdot \frac{4}{4} - \frac{45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{4}{4}$ .

$b = \frac{- 2 \cdot 4}{4} - \frac{45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$b = \frac{- 2 \cdot 4 - 45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$b = \frac{- 8 - 45}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.5.2

Subtrahiere $45$ von $- 8$ .

$b = \frac{- 53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = \frac{- 53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - \frac{53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - \frac{53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

$b = - \frac{53}{4}$

$- 7 = - 7$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.5

Entferne alle Gleichungen aus dem System, die immer erfüllt sind.

$b = - \frac{53}{4}$

$a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$b = - \frac{53}{4}, a = - \frac{5}{4}$

Schritt 1.4

Berechne den Wert von $y$ unter Verwendung jedes $x$ -Wertes in der Relation und vergleiche diesen Wert mit dem gegebenen $y$ -Wert in der Relation.

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Schritt 1.4.1

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = - \frac{5}{4}$ , $b = - \frac{53}{4}$ und $x = - 9$ .

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Schritt 1.4.1.1

Multipliziere $(- \frac{5}{4}) (- 9)$ .

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Schritt 1.4.1.1.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 1$ .

$y = 9 (\frac{5}{4}) - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.1.1.2

Kombiniere $9$ und $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{9 \cdot 5}{4} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.1.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $5$ .

$y = \frac{45}{4} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{45 - 53}{4}$

Schritt 1.4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.1.2.2.1

Subtrahiere $53$ von $45$ .

$y = \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.4.1.2.2.2

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$y = - 2$

Schritt 1.4.2

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 9$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 2$ und $y = - 2$ .

$- 2 = - 2$

Schritt 1.4.3

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = - \frac{5}{4}$ , $b = - \frac{53}{4}$ und $x = - 5$ .

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Schritt 1.4.3.1

Multipliziere $(- \frac{5}{4}) (- 5)$ .

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Schritt 1.4.3.1.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$y = 5 (\frac{5}{4}) - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.3.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5 \cdot 5}{4} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$y = \frac{25}{4} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.3.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{25 - 53}{4}$

Schritt 1.4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.3.2.2.1

Subtrahiere $53$ von $25$ .

$y = \frac{- 28}{4}$

Schritt 1.4.3.2.2.2

Dividiere $- 28$ durch $4$ .

$y = - 7$

Schritt 1.4.4

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 5$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 7$ und $y = - 7$ .

$- 7 = - 7$

Schritt 1.4.5

Berechne den Wert von $y$ , wenn $a = - \frac{5}{4}$ , $b = - \frac{53}{4}$ und $x = - 1$ .

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Schritt 1.4.5.1

Multipliziere $(- \frac{5}{4}) (- 1)$ .

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Schritt 1.4.5.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 (\frac{5}{4}) - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.5.1.2

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $1$ .

$y = \frac{5}{4} - \frac{53}{4}$

Schritt 1.4.5.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.4.5.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 - 53}{4}$

Schritt 1.4.5.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.4.5.2.2.1

Subtrahiere $53$ von $5$ .

$y = \frac{- 48}{4}$

Schritt 1.4.5.2.2.2

Dividiere $- 48$ durch $4$ .

$y = - 12$

Schritt 1.4.6

Wenn die Tabelle eine lineare Funktionsregel hat, $y = y$ für den entsprechenden $x$ -Wert, $x = - 1$ . Der Test wird bestanden, da $y = - 12$ und $y = - 12$ .

$- 12 = - 12$

Schritt 1.4.7

Da für die entsprechenden $x$ -Werte $y = y$ , ist die Funktion linear.

Die Funktion ist linear

Schritt 2

Da alle $y = y$ , ist die Funktion linear und folgt der Form $y = - \frac{5 x}{4} - \frac{53}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{4} - \frac{53}{4}$