Algebra Beispiele

$y = x^{2} + 5 x - 2$ , $y = x + 1$

Schritt 1

Eliminiere die beiden gleichen Seiten jeder Gleichung und vereine.

$x^{2} + 5 x - 2 = x + 1$

Schritt 2

Löse $x^{2} + 5 x - 2 = x + 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 5 x - 2 - x = 1$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $x$ von $5 x$ .

$x^{2} + 4 x - 2 = 1$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 4 x - 2 - 1 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$x^{2} + 4 x - 3 = 0$

Schritt 2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = x + 1$

Schritt 2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 4$ und $c = - 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 3)}}{2 \cdot 1} + y = x + 1$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{7}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{7}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{7}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 3$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{7}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{7}$

Schritt 2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 2 + \sqrt{7}, - 2 - \sqrt{7}$

Schritt 3

Berechne $y$ bei $x = - 2 + \sqrt{7}$ .

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Schritt 3.1

Ersetze $x$ durch $- 2 + \sqrt{7}$ .

$y = (- 2 + \sqrt{7}) + 1$

Schritt 3.2

Setze $- 2 + \sqrt{7}$ für $x$ in $y = (- 2 + \sqrt{7}) + 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 + \sqrt{7} + 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (- 2 + \sqrt{7}) + 1$

Schritt 3.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = - 1 + \sqrt{7}$

Schritt 4

Berechne $y$ bei $x = - 2 - \sqrt{7}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $x$ durch $- 2 - \sqrt{7}$ .

$y = (- 2 - \sqrt{7}) + 1$

Schritt 4.2

Setze $- 2 - \sqrt{7}$ für $x$ in $y = (- 2 - \sqrt{7}) + 1$ ein, löse dann nach $y$ auf.

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Schritt 4.2.1

Entferne die Klammern.

$y = - 2 - \sqrt{7} + 1$

Schritt 4.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (- 2 - \sqrt{7}) + 1$

Schritt 4.2.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$y = - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- 2 + \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7})$

$(- 2 - \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- 2 + \sqrt{7}, - 1 + \sqrt{7}), (- 2 - \sqrt{7}, - 1 - \sqrt{7})$

Gleichungsform:

$x = - 2 + \sqrt{7}, y = - 1 + \sqrt{7}$

$x = - 2 - \sqrt{7}, y = - 1 - \sqrt{7}$

Schritt 7