Algebra Beispiele

$x^{2} - 9 y^{3} = \ln (y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - 9 y^{3}) = \frac{d}{d x} (\ln (y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9 y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 9 y^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9 y^{3}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$2 x - 9 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$2 x - 9 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 x - 9 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 x - 9 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 x - 9 (3 y^{2} y')$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$2 x - 27 y^{2} y'$

Schritt 2.3

Stelle die Terme um.

$- 27 y^{2} y' + 2 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{y} y'$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 27 y^{2} y' + 2 x = \frac{y'}{y}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$(- 27 y^{2} y' + 2 x) y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $(- 27 y^{2} y' + 2 x) y$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 27 y^{2} y' y + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bewege $y$ .

$- 27 (y \cdot y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- 27 (y^{1} y^{2}) y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 27 y^{1 + 2} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$- 27 y^{3} y' + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.1.1.3

Bewege $y^{3}$ .

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = \frac{y'}{y} y$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y = y'$

Schritt 5.3

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 y' y^{3} + 2 x y - y' = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 y' y^{3} - y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $- 27 y' y^{3} - y'$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y'$ aus $- 27 y' y^{3}$ heraus.

$y' (- 27 y^{3}) - y' = - 2 x y$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1 = - 2 x y$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (- 27 y^{3}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (- 27 y^{3} - 1) = - 2 x y$

Schritt 5.3.4

Schreibe $- 27 y^{3}$ als ${(- 3 y)}^{3}$ um.

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1) = - 2 x y$

Schritt 5.3.5

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$y' ({(- 3 y)}^{3} - 1^{3}) = - 2 x y$

Schritt 5.3.6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = - 3 y$ und $b = 1$ .

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3 y)}^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Schritt 5.3.7

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 5.3.7.1.1

Wende die Produktregel auf $- 3 y$ an.

$y' ((- 3 y - 1) ({(- 3)}^{2} y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Schritt 5.3.7.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y \cdot 1 + 1^{2})) = - 2 x y$

Schritt 5.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1^{2})) = - 2 x y$

Schritt 5.3.7.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y' ((- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)) = - 2 x y$

Schritt 5.3.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$

Schritt 5.3.8

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ durch $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1) = - 2 x y$ durch $(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)$ .

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y - 1$ .

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Schritt 5.3.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9 y^{2} - 3 y + 1$ .

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Schritt 5.3.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (9 y^{2} - 3 y + 1)}{9 y^{2} - 3 y + 1} = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.8.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x y}{(- 3 y - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 y$ heraus.

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$y' = - \frac{2 x y}{(- (3 y) - 1 (1)) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 y) - 1 (1)$ heraus.

$y' = - \frac{2 x y}{- (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.8.3.5.1

Schreibe $- (3 y + 1)$ als $- 1 (3 y + 1)$ um.

$y' = - \frac{2 x y}{- 1 (3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - - \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 5.3.8.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$ mit $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{(3 y + 1) (9 y^{2} - 3 y + 1)}$