Algebra Beispiele

$\sin (y) + \cos (x) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (y) + \cos (x)) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (y) + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\cos (y) y' + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\cos (y) y' - \sin (x)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\cos (y) y' - \sin (x) = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $\cos (y) y' - \sin (x)$ um.

$y' \cos (y) - \sin (x) = 0$

Schritt 5.2

Addiere $\sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (y) = \sin (x)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' \cos (y) = \sin (x)$ durch $\cos (y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' \cos (y) = \sin (x)$ durch $\cos (y)$ .

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{\sin (x)}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y)$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' \cos (y)}{\cos (y)} = \frac{\sin (x)}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\sin (x)}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $\frac{\sin (x)}{\cos (y)}$ als ein Produkt um.

$y' = \sin (x) \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y' = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.3.1

Dividiere $\sin (x)$ durch $1$ .

$y' = \sin (x) \frac{1}{\cos (y)}$

Schritt 5.3.3.3.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (y)}$ nach $\sec (y)$ um.

$y' = \sin (x) \sec (y)$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sin (x) \sec (y)$