Algebra Beispiele

$y = 7 e^{- x} + e^{4 x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (7 e^{- x} + e^{4 x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 e^{- x} + e^{4 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [7 e^{- x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{- x}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 3.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- x$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- x$ .

$7 (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$7 (e^{- x} \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $e^{- x}$ .

$7 (- 1 \cdot e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.7

Schreibe $- 1 e^{- x}$ als $- e^{- x}$ um.

$7 (- e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 e^{- x} + \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$- 7 e^{- x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 7 e^{- x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$- 7 e^{- x} + e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 e^{- x} + e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 7 e^{- x} + e^{4 x} (4 \cdot 1)$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 7 e^{- x} + e^{4 x} \cdot 4$

Schritt 3.3.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{4 x}$ .

$- 7 e^{- x} + 4 e^{4 x}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{4 x} - 7 e^{- x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 e^{4 x} - 7 e^{- x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{4 x} - 7 e^{- x}$