Algebra Beispiele

$x^{4} - 145 x^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1

Löse $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ .

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Schritt 1.1

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$u^{2} - 145 u + 144 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $u^{2} - 145 u + 144$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $144$ und deren Summe $- 145$ ist.

$- 144, - 1$

Schritt 1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 144) (u - 1) = 0$

Schritt 1.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 144 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 1.4

Setze $u - 144$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.4.1

Setze $u - 144$ gleich $0$ .

$u - 144 = 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $144$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 144$

Schritt 1.5

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.5.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 1.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(u - 144) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 144, 1$

Schritt 1.7

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 144$

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 1.8

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 144$

Schritt 1.9

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{144}$

Schritt 1.9.2

Vereinfache $\pm \sqrt{144}$ .

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Schritt 1.9.2.1

Schreibe $144$ als $12^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{12^{2}}$

Schritt 1.9.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 12$

Schritt 1.9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.9.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 12$

Schritt 1.9.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 12$

Schritt 1.9.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 12, - 12$

Schritt 1.10

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = 1$

Schritt 1.11

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.11.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = 1$

Schritt 1.11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Schritt 1.11.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm 1$

Schritt 1.11.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.11.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 1$

Schritt 1.11.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 1$

Schritt 1.11.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 1, - 1$

Schritt 1.12

Die Lösung von $x^{4} - 145 x^{2} + 144 = 0$ ist $x = 12, - 12, 1, - 1$ .

$x = 12, - 12, 1, - 1$

Schritt 1.13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 12$

$- 12 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 12$

$x > 12$

Schritt 1.14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 14$

Schritt 1.14.1.2

Ersetze $x$ durch $- 14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 14)}^{4} - 145 {(- 14)}^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1.14.1.3

Die linke Seite $10140$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.14.2

Teste einen Wert im Intervall $- 12 < x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 12 < x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 1.14.2.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(- 4)}^{4} - 145 {(- 4)}^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1.14.2.3

Die linke Seite $- 1920$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.14.3

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.14.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(0)}^{4} - 145 {(0)}^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1.14.3.3

Die linke Seite $144$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.14.4

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 1.14.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(4)}^{4} - 145 {(4)}^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1.14.4.3

Die linke Seite $- 1920$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.14.5

Teste einen Wert im Intervall $x > 12$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.14.5.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 12$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 14$

Schritt 1.14.5.2

Ersetze $x$ durch $14$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(14)}^{4} - 145 {(14)}^{2} + 144 \geq 0$

Schritt 1.14.5.3

Die linke Seite $10140$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.14.6

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

$x < - 12$ Wahr

$- 12 < x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < 1$ Wahr

$1 < x < 12$ Falsch

$x > 12$ Wahr

Schritt 1.15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 12$ oder $- 1 \leq x \leq 1$ oder $x \geq 12$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | x \leq - 12 or - 1 \leq x \leq 1 or x \geq 12}$

Schritt 3