Algebra Beispiele

$y = 10 \sqrt{x}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = 10 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (10 x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Da $10$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{\frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $10 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$10 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.9

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $10$ .

$\frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.11

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} x'$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $x'$ .

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$ um.

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x'}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 x' = 1 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$5 x' = x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Teile jeden Ausdruck in $5 x' = x^{\frac{1}{2}}$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x' = x^{\frac{1}{2}}$ durch $5$ .

$\frac{5 x'}{5} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x'}{5} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Schritt 6.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{5}$