Algebra Beispiele

$y = \tan^{-1} (\sqrt{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\tan^{-1} (x^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \tan^{-1} (y)$ und $g (y) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\tan^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\tan^{-1} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + x^{1}} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d y} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{1}{2}}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.11

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{1 + x} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 4.12

Mutltipliziere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 4.13

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} x'$

Schritt 4.14

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$ und $x'$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)}$

Schritt 6

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$ um.

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} = 1$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten mit $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

$\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Vereinfache $\frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x'}{2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ heraus.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x'}{2 (x^{\frac{1}{2}} (1 + x))} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ .

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Schritt 6.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x'}{x^{\frac{1}{2}} (1 + x)} (x^{\frac{1}{2}} (1 + x)) = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = 1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Vereinfache $1 (2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x))$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Mutltipliziere $2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$ mit $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} (1 + x)$

Schritt 6.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 6.3.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 6.3.2.1.4

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.3.2.1.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.3.2.1.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{1 + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{2 + 1}{2}}$

Schritt 6.3.2.1.4.5

Addiere $2$ und $1$ .

$x' = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 7

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}}$