Algebra Beispiele

$\sin (y) + \cos (x) = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (\sin (y) + \cos (x)) = \frac{d}{d y} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (y) + \cos (x)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (y)] + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (y)$ nach $y$ ist $\cos (y)$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d y} [\cos (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\cos (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\cos (y) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\cos (y) - \sin (u) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$\cos (y) - \sin (x) \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\cos (y) - \sin (x) x'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- \sin (x) x' + \cos (y)$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \sin (x) x' + \cos (y) = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- \sin (x) x' + \cos (y)$ um.

$- x' \sin (x) + \cos (y) = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $\cos (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x' \sin (x) = - \cos (y)$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ durch $- \sin (x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x' \sin (x) = - \cos (y)$ durch $- \sin (x)$ .

$\frac{- x' \sin (x)}{- \sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' \sin (x)}{\sin (x)} = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- \cos (y)}{- \sin (x)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x' = \frac{\cos (y)}{\sin (x)}$

Schritt 5.3.3.2

Schreibe $\frac{\cos (y)}{\sin (x)}$ als ein Produkt um.

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.3.3.3

Schreibe $\cos (y)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$x' = \frac{\cos (y)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.3.3.4

Vereinfache.

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Schritt 5.3.3.4.1

Dividiere $\cos (y)$ durch $1$ .

$x' = \cos (y) \frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 5.3.3.4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$x' = \cos (y) \csc (x)$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \cos (y) \csc (x)$