Algebra Beispiele

$x \ln (y) + 5 y = 2 x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x \ln (y) + 5 y) = \frac{d}{d y} (2 x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (y) + 5 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x \ln (y)] + \frac{d}{d y} [5 y]$ .

$\frac{d}{d y} [x \ln (y)] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x \ln (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (y)$ nach $y$ ist $\frac{1}{y}$ .

$x \frac{1}{y} + \ln (y) \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x \frac{1}{y} + \ln (y) x' + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + \frac{d}{d y} [5 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [5 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $5 y$ nach $y$ gleich $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{x}{y} + \ln (y) x' + 5$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 u^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$6 x^{2} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5 = 6 x^{2} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $\ln (y) x' + \frac{x}{y} + 5$ um.

$x' \ln (y) + \frac{x}{y} + 5 = 6 x^{2} x'$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6 x^{2} x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' \ln (y) + \frac{x}{y} + 5 - 6 x^{2} x' = 0$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $\frac{x}{y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' \ln (y) + 5 - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x' \ln (y) - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y} - 5$

Schritt 5.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' \ln (y) - 6 x^{2} x'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $x' \ln (y)$ heraus.

$x' (\ln (y)) - 6 x^{2} x' = - \frac{x}{y} - 5$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 6 x^{2} x'$ heraus.

$x' (\ln (y)) + x' (- 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (\ln (y)) + x' (- 6 x^{2})$ heraus.

$x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$ durch $\ln (y) - 6 x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (\ln (y) - 6 x^{2}) = - \frac{x}{y} - 5$ durch $\ln (y) - 6 x^{2}$ .

$\frac{x' (\ln (y) - 6 x^{2})}{\ln (y) - 6 x^{2}} = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (y) - 6 x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (\ln (y) - 6 x^{2})}{\ln (y) - 6 x^{2}} = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- \frac{x}{y}}{\ln (y) - 6 x^{2}} + \frac{- 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $y$ .

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Schritt 5.5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$x' = \frac{y}{y} \cdot \frac{- \frac{x}{y} - 5}{\ln (y) - 6 x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kombinieren.

$x' = \frac{y (- \frac{x}{y} - 5)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x' = \frac{y (- \frac{x}{y}) + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.5.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{y}$ in den Zähler.

$x' = \frac{y \frac{- x}{y} + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{y \frac{- x}{y} + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x + y \cdot - 5}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.5

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $y$ .

$x' = \frac{- x - 5 y}{y \ln (y) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.5.3.6.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y) + y (- 6 x^{2})$ heraus.

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Schritt 5.5.3.6.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y \ln (y)$ heraus.

$x' = \frac{- x - 5 y}{y (\ln (y)) + y (- 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.1.2

Faktorisiere $y$ aus $y (\ln (y)) + y (- 6 x^{2})$ heraus.

$x' = \frac{- x - 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{- (x) - 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 y$ heraus.

$x' = \frac{- (x) - (5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (5 y)$ heraus.

$x' = \frac{- (x + 5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.6.5.1

Schreibe $- (x + 5 y)$ als $- 1 (x + 5 y)$ um.

$x' = \frac{- 1 (x + 5 y)}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 5.5.3.6.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x + 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x + 5 y}{y (\ln (y) - 6 x^{2})}$