Algebra Beispiele

$y = {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} ({(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{\frac{3}{2}}$ und $g (y) = 10 x^{3} + 7$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} {u_{1}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $10 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d y} [10 x^{3} + 7]$

Schritt 3.6.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 x^{3} + 7$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d y} [10 x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.6.3

Da $10$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $10 x^{3}$ nach $y$ gleich $10 \frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 \frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (10 (3 x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $3$ mit $10$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 (x^{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.9

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [7])$

Schritt 3.10

Da $7$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x' + 0)$

Schritt 3.11

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.11.1

Addiere $30 x^{2} x'$ und $0$ .

$\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (30 x^{2} x')$

Schritt 3.11.2

Kombiniere $30$ und $\frac{3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{30 (3 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} (x^{2} x')$

Schritt 3.11.3

Mutltipliziere $3$ mit $30$ .

$\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (x^{2} x')$

Schritt 3.11.4

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x'$

Schritt 3.11.5

Kombiniere $\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2}$ und $x'$ .

$\frac{x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{2}$

Schritt 3.11.6

Faktorisiere $2$ aus $x^{2} (90 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2}$

Schritt 3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 (1)}$

Schritt 3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x')}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'}{1}$

Schritt 3.12.4

Dividiere $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ durch $1$ .

$x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$

Schritt 3.13

Stelle die Faktoren von $x^{2} (45 {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}) x'$ um.

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = 45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ um.

$45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ durch $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x' = 1$ durch $45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x'}{{(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2.2.6

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{45 x^{2} {(10 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$