Algebra Beispiele

$z = (u^{3} - v^{3}) e^{(u^{3} + v^{3})}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d u} (z) = \frac{d}{d u} ((u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $z$ nach $u$ ist $z'$ .

$z'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (u) g (u)]$ gleich $f (u) \frac{d}{d u} [g (u)] + g (u) \frac{d}{d u} [f (u)]$ ist mit $f (u) = u^{3} - {z'}^{3}$ und $g (u) = e^{u^{3} + {z'}^{3}}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) \frac{d}{d u} [e^{u^{3} + {z'}^{3}}] + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ ist $f' (g (u)) g' (u)$ , mit $f (u) = e^{u}$ und $g (u) = u^{3} + {z'}^{3}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $u^{3} + {z'}^{3}$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) (e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} + {z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{3} + {z'}^{3}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [{z'}^{3}]) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.3.3

Da ${z'}^{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von ${z'}^{3}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.3.4

Addiere $3 u^{2}$ und $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} \frac{d}{d u} [u^{3} - {z'}^{3}]$

Schritt 3.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $u^{3} - {z'}^{3}$ nach $u$ $\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}]$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (\frac{d}{d u} [u^{3}] + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + \frac{d}{d u} [- {z'}^{3}])$

Schritt 3.3.7

Da $- {z'}^{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ist die Ableitung von $- {z'}^{3}$ bezüglich $u$ gleich $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2} + 0)$

Schritt 3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.8.1

Addiere $3 u^{2}$ und $0$ .

$(u^{3} - {z'}^{3}) e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2}) + e^{u^{3} + {z'}^{3}} (3 u^{2})$

Schritt 3.3.8.2

Stelle die Terme um.

$3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (u^{3} - {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} u^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $u^{2}$ mit $u^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.2.1

Bewege $u^{3}$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} (u^{3} u^{2}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{3 + 2} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5.1.2.3

Addiere $3$ und $2$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} (- {z'}^{3}) + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$z' = 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$

Schritt 5.2

Stelle die Faktoren in $3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{5} - 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2} {z'}^{3} + 3 e^{u^{3} + {z'}^{3}} u^{2}$ um.

$z' = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$

Schritt 6

Ersetze $z'$ durch $\frac{d z}{d u}$ .

$\frac{d z}{d u} = 3 u^{5} e^{u^{3} + {z'}^{3}} - 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}} {z'}^{3} + 3 u^{2} e^{u^{3} + {z'}^{3}}$