Algebra Beispiele

$(- \frac{3}{5}, y)$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{3}{5}, y)$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{3}{5}, 0)$ und $(- \frac{3}{5}, y)$ .

Gegenüberliegend : $y$

Ankathete : $- \frac{3}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{5})}^{2} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{5^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{3^{2}}{5^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{5^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{5^{2}} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + {(y)}^{2}}$

Schritt 2.6

Um $y^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + y^{2} \cdot \frac{25}{25}}$

Schritt 2.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.7.1

Kombiniere $y^{2}$ und $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{9}{25} + \frac{y^{2} \cdot 25}{25}}$

Schritt 2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{9 + y^{2} \cdot 25}{25}}$

Schritt 2.8

Bringe $25$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$\sqrt{\frac{9 + 25 y^{2}}{25}}$

Schritt 2.9

Schreibe $\frac{9 + 25 y^{2}}{25}$ als ${(\frac{1}{5})}^{2} (9 + 25 y^{2})$ um.

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Schritt 2.9.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $9 + 25 y^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (9 + 25 y^{2})}{25}}$

Schritt 2.9.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $5^{2}$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (9 + 25 y^{2})}{5^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.9.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (9 + 25 y^{2})}{5^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{5})}^{2} (9 + 25 y^{2})}$

Schritt 2.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{5} \sqrt{9 + 25 y^{2}}$

Schritt 2.11

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $\sqrt{9 + 25 y^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{5}$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{5}}$ .

$\frac{- \frac{3}{5}}{\frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{5}}$

Schritt 4

Vereinfache $\cos (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cos (θ) = - \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{5}$ in den Zähler.

$\cos (θ) = \frac{- 3}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = \frac{- 3}{5} \cdot \frac{5}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - 3 \frac{1}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$ .

$\cos (θ) = \frac{- 3}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (θ) = - \frac{3}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - (\frac{3}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}})$

Schritt 4.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $\frac{3}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}} \sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.6.2

Potenziere $\sqrt{9 + 25 y^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}} \sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.6.3

Potenziere $\sqrt{9 + 25 y^{2}}$ mit $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{\sqrt{9 + 25 y^{2}} \sqrt{9 + 25 y^{2}}}$

Schritt 4.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{\sqrt{9 + 25 y^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.6.6

Schreibe ${\sqrt{9 + 25 y^{2}}}^{2}$ als $9 + 25 y^{2}$ um.

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Schritt 4.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{9 + 25 y^{2}}$ als ${(9 + 25 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{({(9 + 25 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{(9 + 25 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{(9 + 25 y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{{(9 + 25 y^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{9 + 25 y^{2}}$

Schritt 4.6.6.5

Vereinfache.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{9 + 25 y^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{9 + 25 y^{2}} \approx - \frac{3 \sqrt{9 + 25 y^{2}}}{9 + 25 y^{2}}$