Algebra Beispiele

$\frac{a^{3} + 27 b^{3}}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Schreibe $27 b^{3}$ als ${(3 b)}^{3}$ um.

$\frac{a^{3} + {(3 b)}^{3}}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = a$ und $b = 3 b$ .

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - a (3 b) + {(3 b)}^{2})}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 1 \cdot 3 a b + {(3 b)}^{2})}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + {(3 b)}^{2})}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1.3.3

Wende die Produktregel auf $3 b$ an.

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 3^{2} b^{2})}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 1.3.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 9 b^{2})}{a^{2} - 9 b^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $9 b^{2}$ als ${(3 b)}^{2}$ um.

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 9 b^{2})}{a^{2} - {(3 b)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = a$ und $b = 3 b$ .

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 9 b^{2})}{(a + 3 b) (a - (3 b))}$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 9 b^{2})}{(a + 3 b) (a - 3 b)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 3 b$ .

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a + 3 b) (a^{2} - 3 a b + 9 b^{2})}{(a + 3 b) (a - 3 b)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} - 3 a b + 9 b^{2}}{a - 3 b}$