Algebra Beispiele

$\frac{6 x + 8}{x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{6 y + 8}{y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (\frac{6 y + 8}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(y - 1) (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - 1 x = (\frac{6 y + 8}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y x - x = (\frac{6 y + 8}{y - 1}) (y - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $(\frac{6 y + 8}{y - 1}) (y - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y + 8$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 y$ heraus.

$y x - x = \frac{2 (3 y) + 8}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y x - x = \frac{2 (3 y) + 2 (4)}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 y) + 2 (4)$ heraus.

$y x - x = \frac{2 (3 y + 4)}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y x - x = \frac{2 (3 y + 4)}{y - 1} (y - 1)$

Schritt 2.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y x - x = 2 (3 y + 4)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y x - x = 2 (3 y) + 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4

Multipliziere.

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Schritt 2.3.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y x - x = 6 y + 2 \cdot 4$

Schritt 2.3.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y x - x = 6 y + 8$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $6 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y x - x - 6 y = 8$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y x - 6 y = 8 + x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x - 6 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$y (x) - 6 y = 8 + x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 6 y$ heraus.

$y (x) + y \cdot - 6 = 8 + x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (x) + y \cdot - 6$ heraus.

$y (x - 6) = 8 + x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 6) = 8 + x$ durch $x - 6$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 6) = 8 + x$ durch $x - 6$ .

$\frac{y (x - 6)}{x - 6} = \frac{8}{x - 6} + \frac{x}{x - 6}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 6)}{x - 6} = \frac{8}{x - 6} + \frac{x}{x - 6}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{x - 6} + \frac{x}{x - 6}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{8 + x}{x - 6}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + x}{x - 6}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{8 + x}{x - 6}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{6 x + 8}{x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{8 + \frac{6 x + 8}{x - 1}}{(\frac{6 x + 8}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{8 + \frac{6 x + 8}{x - 1}}{(\frac{6 x + 8}{x - 1}) - 6}$

Schritt 4.2.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{8 + \frac{6 x + 8}{x - 1}}{\frac{6 x + 8}{x - 1} - 6}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{8 + \frac{6 x + 8}{x - 1}}{\frac{6 x + 8}{x - 1} - 6}$

Schritt 4.2.4.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (8 + \frac{6 x + 8}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1} - 6)}$

Schritt 4.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 8$ heraus.

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Schritt 4.2.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x) + 8}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x) + 2 (4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{6 x + 8}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x + 8$ heraus.

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Schritt 4.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x) + 8}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6.2.2

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x) + 2 (4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.6.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x) + 2 (4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.7.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) \cdot 8 + (x - 1) \frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}$ heraus.

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Schritt 4.2.7.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) \cdot 8$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (8) + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.1.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (8) + (x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (8 + \frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.2

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 (x - 1)}{x - 1} + \frac{2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{8 (x - 1) + 2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4

Schreibe $\frac{8 (x - 1) + 2 (3 x + 4)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.7.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (x - 1) + 2 (3 x + 4)$ heraus.

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Schritt 4.2.7.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (4 (x - 1)) + 2 (3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 (x - 1)) + 2 (3 x + 4)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (4 (x - 1) + 3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (4 x + 4 \cdot - 1 + 3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (4 x - 4 + 3 x + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.4

Addiere $4 x$ und $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (7 x - 4 + 4)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.5

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 (7 x + 0)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.6

Addiere $7 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{2 \cdot (7 x)}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.7.4.7

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.8.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) \frac{2 (3 x + 4)}{x - 1} + (x - 1) \cdot - 6$ heraus.

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Schritt 4.2.8.1.1

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) \frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 6}$

Schritt 4.2.8.1.2

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) \cdot - 6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) (- 6)}$

Schritt 4.2.8.1.3

Faktorisiere $x - 1$ aus $(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1}) + (x - 1) (- 6)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1} - 6)}$

Schritt 4.2.8.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1} - 6 \cdot \frac{x - 1}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4)}{x - 1} + \frac{- 6 (x - 1)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4) - 6 (x - 1)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5

Schreibe $\frac{2 (3 x + 4) - 6 (x - 1)}{x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.8.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x + 4) - 6 (x - 1)$ heraus.

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Schritt 4.2.8.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4) + 2 (- 3 (x - 1))}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x + 4) + 2 (- 3 (x - 1))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4 - 3 (x - 1))}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4 - 3 x - 3 \cdot - 1)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (3 x + 4 - 3 x + 3)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.4

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (0 + 4 + 3)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.5

Addiere $0$ und $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 (4 + 3)}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.5.6

Addiere $4$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{2 \cdot 7}{x - 1})}$

Schritt 4.2.8.6

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{14}{x - 1})}$

Schritt 4.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{14 x}{x - 1})}{(x - 1) (\frac{14}{x - 1})}$

Schritt 4.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{\frac{14 x}{x - 1}}{\frac{14}{x - 1}}$

Schritt 4.2.10

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{14 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{14}$

Schritt 4.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 4.2.11.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{14 (x)}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{14}$

Schritt 4.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{14 x}{x - 1} \cdot \frac{x - 1}{14}$

Schritt 4.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 4.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 4.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = \frac{x}{x - 1} \cdot (x - 1)$

Schritt 4.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 8}{x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{8 + x}{x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{6 (\frac{8 + x}{x - 6}) + 8}{(\frac{8 + x}{x - 6}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 6$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{6 \frac{8 + x}{x - 6} + 8}{\frac{8 + x}{x - 6} - 1}$ mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{x - 6}{x - 6} \cdot \frac{6 (\frac{8 + x}{x - 6}) + 8}{\frac{8 + x}{x - 6} - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) (6 (\frac{8 + x}{x - 6}) + 8)}{(x - 6) (\frac{8 + x}{x - 6} - 1)}$

Schritt 4.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) (6 (\frac{8 + x}{x - 6})) + (x - 6) \cdot 8}{(x - 6) (\frac{8 + x}{x - 6}) + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 4.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) (6 (\frac{8 + x}{x - 6})) + (x - 6) \cdot 8}{(x - 6) (\frac{8 + x}{x - 6}) + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) (6 (\frac{8 + x}{x - 6})) + (x - 6) \cdot 8}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $(x - 6) \cdot 2$ aus $(x - 6) \cdot 6 \frac{8 + x}{x - 6} + (x - 6) \cdot 8$ heraus.

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Schritt 4.3.6.1.1

Faktorisiere $(x - 6) \cdot 2$ aus $(x - 6) \cdot 6 \frac{8 + x}{x - 6}$ heraus.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (3 (\frac{8 + x}{x - 6}))) + (x - 6) \cdot 8}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.2

Faktorisiere $(x - 6) \cdot 2$ aus $(x - 6) \cdot 8$ heraus.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (3 (\frac{8 + x}{x - 6}))) + (x - 6) \cdot (2 (4))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.1.3

Faktorisiere $(x - 6) \cdot 2$ aus $(x - 6) \cdot 2 (3 \frac{8 + x}{x - 6}) + (x - 6) \cdot 2 (4)$ heraus.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (3 (\frac{8 + x}{x - 6}) + 4))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.2

Kombiniere $3$ und $\frac{8 + x}{x - 6}$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 (8 + x)}{x - 6} + 4))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.3

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 (8 + x)}{x - 6} + \frac{4 (x - 6)}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 (8 + x) + 4 (x - 6)}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 \cdot 8 + 3 x + 4 (x - 6)}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{24 + 3 x + 4 (x - 6)}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{24 + 3 x + 4 x + 4 \cdot - 6}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{24 + 3 x + 4 x - 24}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.5

Subtrahiere $24$ von $24$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 x + 4 x + 0}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.6

Addiere $3 x + 4 x$ und $0$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{3 x + 4 x}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.5.7

Addiere $3 x$ und $4 x$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot (2 (\frac{7 x}{x - 6}))}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.6.6.1

Kombiniere $\frac{7 x}{x - 6}$ und $2$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{7 x \cdot 2}{x - 6}}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{8 + x + (x - 6) \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{8 + x + x \cdot - 1 - 6 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{8 + x - 1 \cdot x - 6 \cdot - 1}$

Schritt 4.3.7.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{8 + x - 1 \cdot x + 6}$

Schritt 4.3.7.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{8 + x - x + 6}$

Schritt 4.3.7.5

Addiere $8$ und $6$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{x - x + 14}$

Schritt 4.3.7.6

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{0 + 14}$

Schritt 4.3.7.7

Addiere $0$ und $14$ .

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{14}$

Schritt 4.3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $\frac{14 x}{x - 6}$ aus $\frac{(x - 6) \cdot \frac{14 x}{x - 6}}{14}$ heraus.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{14 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{14}$

Schritt 4.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{14 (x)}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{14}$

Schritt 4.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{14 x}{x - 6} \cdot \frac{x - 6}{14}$

Schritt 4.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Schritt 4.3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 6$ .

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Schritt 4.3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = \frac{x}{x - 6} \cdot (x - 6)$

Schritt 4.3.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{8 + x}{x - 6}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{8 + x}{x - 6}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{6 x + 8}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{8 + x}{x - 6}$