Algebra Beispiele

$\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Gleichung mit $- 3 y - 1$ .

$(- 3 y - 1) (x) = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(- 3 y - 1) (x)$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 3 y x - 1 x = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$- 3 y x - x = (\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $(\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}) (- 3 y - 1)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Mutltipliziere $\frac{5 y + 8}{- 3 y - 1}$ mit $- 3 y - 1$ .

$- 3 y x - x = \frac{(5 y + 8) (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 y - 1$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 y x - x = \frac{(5 y + 8) (- 3 y - 1)}{- 3 y - 1}$

Schritt 2.3.1.2.2

Dividiere $5 y + 8$ durch $1$ .

$- 3 y x - x = 5 y + 8$

Schritt 2.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.4.1

Subtrahiere $5 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y x - x - 5 y = 8$

Schritt 2.4.2

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y x - 5 y = 8 + x$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y x - 5 y$ heraus.

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Schritt 2.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y x$ heraus.

$y (- 3 x) - 5 y = 8 + x$

Schritt 2.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 5 y$ heraus.

$y (- 3 x) + y \cdot - 5 = 8 + x$

Schritt 2.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- 3 x) + y \cdot - 5$ heraus.

$y (- 3 x - 5) = 8 + x$

Schritt 2.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 x - 5) = 8 + x$ durch $- 3 x - 5$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- 3 x - 5) = 8 + x$ durch $- 3 x - 5$ .

$\frac{y (- 3 x - 5)}{- 3 x - 5} = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Schritt 2.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x - 5$ .

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Schritt 2.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- 3 x - 5)}{- 3 x - 5} = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Schritt 2.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{- 3 x - 5} + \frac{x}{- 3 x - 5}$

Schritt 2.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{8 + x}{- 3 x - 5}$

Schritt 2.4.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$y = \frac{8 + x}{- (3 x) - 5}$

Schritt 2.4.4.3.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$y = \frac{8 + x}{- (3 x) - 1 (5)}$

Schritt 2.4.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (5)$ heraus.

$y = \frac{8 + x}{- (3 x + 5)}$

Schritt 2.4.4.3.5

Stelle die Minuszeichen um.

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Schritt 2.4.4.3.5.1

Schreibe $- (3 x + 5)$ als $- 1 (3 x + 5)$ um.

$y = \frac{8 + x}{- 1 (3 x + 5)}$

Schritt 2.4.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{8 + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{8 + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.4.1

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 3 x - 1}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{8 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1} + \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{8 (- 3 x - 1) + 5 x + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x + 8 (- 3 x - 1) + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4

Schreibe $\frac{5 x + 8 (- 3 x - 1) + 8}{- 3 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x + 8 (- 3 x) + 8 \cdot - 1 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x - 24 x + 8 \cdot - 1 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{5 x - 24 x - 8 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4.4

Subtrahiere $24 x$ von $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x - 8 + 8}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4.5

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x + 0}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.4.6

Addiere $- 19 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{\frac{- 19 x}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{3 (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) + 5}$

Schritt 4.2.5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.5.1

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1} + 5}$

Schritt 4.2.5.2

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{- 3 x - 1}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1} + \frac{5 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{3 (5 x + 8) + 5 (- 3 x - 1)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{5 (- 3 x - 1) + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5

Schreibe $\frac{5 (- 3 x - 1) + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.2.5.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{5 (- 3 x) + 5 \cdot - 1 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x + 5 \cdot - 1 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 3 (5 x + 8)}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 3 (5 x) + 3 \cdot 8}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.5

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 15 x + 3 \cdot 8}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.6

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 15 x - 5 + 15 x + 24}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.7

Addiere $- 15 x$ und $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{0 - 5 + 24}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.8

Subtrahiere $5$ von $0$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{- 5 + 24}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.5.5.9

Addiere $- 5$ und $24$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{- \frac{19 x}{- 3 x - 1}}{\frac{19}{- 3 x - 1}}$

Schritt 4.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{19 x}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Schritt 4.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 4.2.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{19 x}{- 3 x - 1}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{- 19 x}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Schritt 4.2.7.2

Faktorisiere $19$ aus $- 19 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{19 (- x)}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Schritt 4.2.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{19 (- x)}{- 3 x - 1} \cdot \frac{- 3 x - 1}{19})$

Schritt 4.2.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{- x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x - 1))$

Schritt 4.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x - 1))$

Schritt 4.2.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot (- 3 x) - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10

Multipliziere $- \frac{x}{- 3 x - 1} (- 3 x)$ .

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Schritt 4.2.10.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (3 (\frac{x}{- 3 x - 1}) \cdot x - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.2

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x}{- 3 x - 1} \cdot x - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.3

Kombiniere $\frac{3 x}{- 3 x - 1}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x \cdot x}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 (x \cdot x)}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 (x \cdot x)}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{1 + 1}}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.10.7

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} - \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1)$

Schritt 4.2.11

Multipliziere $- \frac{x}{- 3 x - 1} \cdot - 1$ .

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Schritt 4.2.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} + 1 (\frac{x}{- 3 x - 1}))$

Schritt 4.2.11.2

Mutltipliziere $\frac{x}{- 3 x - 1}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (\frac{3 x^{2}}{- 3 x - 1} + \frac{x}{- 3 x - 1})$

Schritt 4.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{3 x^{2} + x}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.13

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 4.2.13.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.13.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.13.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x) + x \cdot 1}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.13.4

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (3 x + 1)}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x + 1$ und $- 3 x - 1$ .

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Schritt 4.2.14.1

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x) + 1)}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14.2

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x) - 1 \cdot - 1)}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 x) - 1 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14.4

Schreibe $- (- 3 x - 1)$ als $- 1 (- 3 x - 1)$ um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- 1 (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - \frac{x (- 1 (- 3 x - 1))}{- 3 x - 1}$

Schritt 4.2.14.6

Dividiere $x \cdot (- 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (x \cdot (- 1))$

Schritt 4.2.15

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.15.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = - (- 1 x)$

Schritt 4.2.15.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f^{- 1} (\frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{8 + x}{3 x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{5 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.1

Multipliziere $5 (- \frac{8 + x}{3 x + 5})$ .

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Schritt 4.3.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- 5 \frac{8 + x}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8 + x}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{- 5 (8 + x)}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- \frac{5 (8 + x)}{3 x + 5} + 8}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.3

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 5}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{- \frac{5 (8 + x)}{3 x + 5} + \frac{8 (3 x + 5)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{- 5 (8 + x) + 8 (3 x + 5)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.5

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{8 (3 x + 5) - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6

Schreibe $\frac{8 (3 x + 5) - 5 (8 + x)}{3 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{8 (3 x) + 8 \cdot 5 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 8 \cdot 5 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.3

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 5 (8 + x)}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 5 \cdot 8 - 5 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{24 x + 40 - 40 - 5 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.6

Subtrahiere $5 x$ von $24 x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x + 40 - 40}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.7

Subtrahiere $40$ von $40$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x + 0}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.3.6.8

Addiere $19 x$ und $0$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) - 1$ heraus.

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Schritt 4.3.4.1.1

Stelle $8$ und $x$ um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- 3 \cdot (- 1 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cdot - 1 \frac{x + 8}{3 x + 5}$ heraus.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1}$

Schritt 4.3.4.1.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5}) - 1 (1)$ heraus.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- 3 \frac{x + 8}{3 x + 5} + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{x + 8}{3 x + 5}$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (\frac{- 3 (x + 8)}{3 x + 5} + 1)}$

Schritt 4.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- \frac{3 (x + 8)}{3 x + 5} + 1)}$

Schritt 4.3.4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- (- \frac{3 (x + 8)}{3 x + 5} + \frac{3 x + 5}{3 x + 5})}$

Schritt 4.3.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{- 3 (x + 8) + 3 x + 5}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.6

Stelle die Terme um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 (x + 8)}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.7

Schreibe $\frac{3 x + 5 - 3 (x + 8)}{3 x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.3.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 x - 3 \cdot 8}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.7.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{3 x + 5 - 3 x - 24}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.7.3

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{0 + 5 - 24}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.7.4

Addiere $0$ und $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{5 - 24}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.7.5

Subtrahiere $24$ von $5$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{- \frac{- 19}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{1 (\frac{19}{3 x + 5})}$

Schritt 4.3.4.9

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.3.4.9.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{\frac{19}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.4.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{1 (\frac{19}{3 x + 5})}$

Schritt 4.3.4.9.3

Mutltipliziere $\frac{19}{3 x + 5}$ mit $1$ .

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{\frac{19 x}{3 x + 5}}{\frac{19}{3 x + 5}}$

Schritt 4.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 x}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Schritt 4.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $19$ .

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Schritt 4.3.6.1

Faktorisiere $19$ aus $19 x$ heraus.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 (x)}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Schritt 4.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{19 x}{3 x + 5} \cdot \frac{3 x + 5}{19}$

Schritt 4.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x + 5$ .

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Schritt 4.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = \frac{x}{3 x + 5} \cdot (3 x + 5)$

Schritt 4.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{8 + x}{3 x + 5}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{5 x + 8}{- 3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{8 + x}{3 x + 5}$