Algebra Beispiele

$2 - \log_{3} (x + 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 2 - \log_{3} (y + 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $2 - \log_{3} (y + 1) = x$ um.

$2 - \log_{3} (y + 1) = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \log_{3} (y + 1) = x - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \log_{3} (y + 1) = x - 2$ durch $- 1$ .

$\frac{- \log_{3} (y + 1)}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\log_{3} (y + 1)}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $\log_{3} (y + 1)$ durch $1$ .

$\log_{3} (y + 1) = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$\log_{3} (y + 1) = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$\log_{3} (y + 1) = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 2.3.3.1.3

Dividiere $- 2$ durch $- 1$ .

$\log_{3} (y + 1) = - x + 2$

Schritt 2.4

Schreibe $\log_{3} (y + 1) = - x + 2$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$3^{- x + 2} = y + 1$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $y + 1 = 3^{- x + 2}$ um.

$y + 1 = 3^{- x + 2}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = 3^{- x + 2} - 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- (2 - \log_{3} (x + 1)) + 2} - 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 1 \cdot 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Schritt 4.2.3.1.3

Multipliziere $- - \log_{3} (x + 1)$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + 1 \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $\log_{3} (x + 1)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2} - 1$

Schritt 4.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + \log_{3} (x + 1) + 2$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{0 + \log_{3} (x + 1)} - 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Addiere $0$ und $\log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = 3^{\log_{3} (x + 1)} - 1$

Schritt 4.2.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 1 - 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 - \log_{3} (x + 1)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (3^{- x + 2} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 - \log_{3} ((3^{- x + 2} - 1) + 1)$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2} + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $3^{- x + 2}$ und $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - \log_{3} (3^{- x + 2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- x + 2$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \log_{3} (3))$

Schritt 4.3.4.2

Die logarithmische Basis $3$ von $3$ ist $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - ((- x + 2) \cdot 1)$

Schritt 4.3.4.3

Mutltipliziere $- x + 2$ mit $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 - (- x + 2)$

Schritt 4.3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.4.5

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.3.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + 1 x - 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.4.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 1 \cdot 2$

Schritt 4.3.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = 2 + x - 2$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 4.3.5.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (3^{- x + 2} - 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 3^{- x + 2} - 1$