Algebra Beispiele

$- 2 \ln (x + 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 \ln (y + 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \ln (y + 1) = x$ um.

$- 2 \ln (y + 1) = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (y + 1) = x$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \ln (y + 1) = x$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \ln (y + 1)}{- 2} = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\ln (y + 1)$ durch $1$ .

$\ln (y + 1) = \frac{x}{- 2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$

Schritt 2.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y + 1)} = e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2.4

Schreibe $\ln (y + 1) = - \frac{x}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2}} = y + 1$

Schritt 2.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$ um.

$y + 1 = e^{- \frac{x}{2}}$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- 2 \ln (x + 1)}{2}} - 1$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \ln (x + 1)$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2}} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 (1)}} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{2 (- \ln (x + 1))}{2 \cdot 1}} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{- \frac{- \ln (x + 1)}{1}} - 1$

Schritt 4.2.3.1.2.4

Dividiere $- \ln (x + 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Schritt 4.2.3.2

Multipliziere $- - \ln (x + 1)$ .

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Schritt 4.2.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{1 \ln (x + 1)} - 1$

Schritt 4.2.3.2.2

Mutltipliziere $\ln (x + 1)$ mit $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = e^{\ln (x + 1)} - 1$

Schritt 4.2.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 1 - 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 2 \ln (x + 1)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (e^{- \frac{x}{2}} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln ((e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(e^{- \frac{x}{2}} - 1) + 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}} + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $e^{- \frac{x}{2}}$ und $0$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \ln (e^{- \frac{x}{2}})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $- \frac{x}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot \ln (e))$

Schritt 4.3.5

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2} \cdot 1)$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 (- \frac{x}{2})$

Schritt 4.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2}$ in den Zähler.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 2 \frac{- x}{2}$

Schritt 4.3.7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 (- 1) (\frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 2 \cdot (- 1 \frac{- x}{2})$

Schritt 4.3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = - 1 (- x)$

Schritt 4.3.8

Multipliziere.

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Schritt 4.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = 1 x$

Schritt 4.3.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (e^{- \frac{x}{2}} - 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 \ln (x + 1)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{- \frac{x}{2}} - 1$