Algebra Beispiele

$e^{3 x^{2}}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{3 y^{2}}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{3 y^{2}} = x$ um.

$e^{3 y^{2}} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 y^{2}}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{3 y^{2}})$ durch Herausziehen von $3 y^{2}$ aus dem Logarithmus.

$3 y^{2} \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$3 y^{2} \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 y^{2} = \ln (x)$

Schritt 2.4

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = \ln (x)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = \ln (x)$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\ln (x)}{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{\ln (x)}{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\ln (x)}{3}$

Schritt 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$

Schritt 2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$ .

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Schritt 2.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{\ln (x)}{3}}$ als $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.6.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\ln (x)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.6.3.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.6.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.6.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.6.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.6.3.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.6.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.6.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.6.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.6.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.6.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.6.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.6.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x)} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x) \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.6.4.2

Stelle $\ln (x)$ und $3$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot \ln (x)}}{3}$

Schritt 2.6.4.3

Vereinfache $3 \cdot \ln (x)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ ist.

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Schritt 4.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ und $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ und vergleiche sie.

Schritt 4.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

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Schritt 4.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[1, \infty)$

Schritt 4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ .

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Schritt 4.3.1

Setze das Argument in $\ln (x^{3})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{3} > 0$

Schritt 4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x > \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x > \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.3.2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x > 0$

Schritt 4.3.3

Setze den Radikanden in $\sqrt{\ln (x^{3})}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\ln (x^{3}) \geq 0$

Schritt 4.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$\ln (x^{3}) = 0$

Schritt 4.3.4.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.3.4.2.1

Um nach $x$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{0}$

Schritt 4.3.4.2.2

Schreibe $\ln (x^{3}) = 0$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x^{3}$

Schritt 4.3.4.2.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{3} = e^{0}$ um.

$x^{3} = e^{0}$

Schritt 4.3.4.2.3.2

Subtrahiere $e^{0}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - e^{0} = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.4.2.3.3.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.4.2.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.3.4.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.6

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.3.6.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.6.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.3.4.2.3.7

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.1

Setze $x^{2} + x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2

Löse $x^{2} + x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.4

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.7.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.2.3.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3.4.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\ln (x^{3})$ .

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Schritt 4.3.4.3.1

Setze das Argument in $\ln (x^{3})$ größer als $0$ , um zu ermitteln. wo der Ausdruck definiert ist.

$x^{3} > 0$

Schritt 4.3.4.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.4.3.2.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{x^{3}} > \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.3.4.3.2.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 4.3.4.3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x > \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.3.4.3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.4.3.2.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.3.4.3.2.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x > \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.3.4.3.2.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x > 0$

Schritt 4.3.4.3.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(0, \infty)$

Schritt 4.3.4.4

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \geq 1$

Schritt 4.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[1, \infty)$

Schritt 4.4

Bestimme den Definitionsbereich von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

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Schritt 4.4.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 4.5

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ der Wertebereich von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ der Definitionsbereich von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$ die inverse Funktion von $f (x) = e^{3 x^{2}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}, - \frac{\sqrt{\ln (x^{3})}}{3}$

Schritt 5