Algebra Beispiele

$t (x) = x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 {(1)}^{3} + 20 (1) - 16$

Schritt 4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - 5 \cdot 1 + 20 (1) - 16$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 5 + 20 (1) - 16$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$1 - 5 + 20 - 16$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Schritt 4.2.2

Addiere $- 4$ und $20$ .

$16 - 16$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 5

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(20)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(16)$ mit dem Divisor $(1)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$1$	$1$	$- 5$	$0$	$20$	$- 16$
		$1$	$- 4$	$- 4$	$16$
	$1$	$- 4$	$- 4$	$16$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 4) x + 16$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Schritt 7

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16$

Schritt 7.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) + x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

$(x - 1) x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)$

Schritt 8

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 4)$

Schritt 9

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} - 2^{2})$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) + (x - 4) ((x + 2) (x - 2))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) + (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2)$

Schritt 11

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 11.1

Faktorisiere $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 11.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Schritt 11.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Schritt 11.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 11.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Schritt 11.1.3.2

Potenziere $1$ mit $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 20 \cdot 1 - 16$

Schritt 11.1.3.3

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 20 \cdot 1 - 16$

Schritt 11.1.3.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$1 - 5 + 20 \cdot 1 - 16$

Schritt 11.1.3.5

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$- 4 + 20 \cdot 1 - 16$

Schritt 11.1.3.6

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$- 4 + 20 - 16$

Schritt 11.1.3.7

Addiere $- 4$ und $20$ .

$16 - 16$

Schritt 11.1.3.8

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$0$

Schritt 11.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16}{x - 1}$

Schritt 11.1.5

Dividiere $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ durch $x - 1$ .

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Schritt 11.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Schritt 11.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

Schritt 11.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 11.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

Schritt 11.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Schritt 11.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 11.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 11.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 11.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 11.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Schritt 11.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Schritt 11.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 4 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

Schritt 11.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 11.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 4 x^{2} + 4 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

Schritt 11.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

Schritt 11.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Schritt 11.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $16 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

Schritt 11.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Schritt 11.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $16 x - 16$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

Schritt 11.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$0 x^{2}$

$20 x$

$16$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$20 x$

$4 x^{2}$

$4 x$

$16 x$

$16$

$16 x$

$16$

$0$

Schritt 11.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16$

Schritt 11.1.6

Schreibe $x^{4} - 5 x^{3} + 20 x - 16$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 4 x + 16) = 0$

Schritt 11.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 11.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x - 1) ((x^{3} - 4 x^{2}) - 4 x + 16) = 0$

Schritt 11.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(x - 1) (x^{2} (x - 4) - 4 (x - 4)) = 0$

Schritt 11.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x - 4$ .

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 4)) = 0$

Schritt 11.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x - 1) ((x - 4) (x^{2} - 2^{2})) = 0$

Schritt 11.5

Faktorisiere.

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Schritt 11.5.1

Faktorisiere.

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Schritt 11.5.1.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 4) ((x + 2) (x - 2))) = 0$

Schritt 11.5.1.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) ((x - 4) (x + 2) (x - 2)) = 0$

Schritt 11.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$

Schritt 12

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 13

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 13.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 14

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 14.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 15

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 15.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 16

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 16.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 17

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 4) (x + 2) (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 4, - 2, 2$

Schritt 18