Algebra Beispiele

$f (x) = 6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 35$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{6}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{6}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm \frac{7}{3}, \pm \frac{7}{6}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm \frac{35}{3}, \pm \frac{35}{6}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$6 {(\frac{7}{2})}^{4} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = \frac{7}{2}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$6 \frac{7^{4}}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.2

Potenziere $7$ mit $4$ .

$6 \frac{2401}{2^{4}} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$6 (\frac{2401}{16}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{2401}{16} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{2401}{2 \cdot 8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2401}{8}) - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{2401}{8}$ .

$\frac{3 \cdot 2401}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $2401$ .

$\frac{7203}{8} - 21 {(\frac{7}{2})}^{3} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{7^{3}}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.8

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 \frac{343}{2^{3}} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.9

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{7203}{8} - 21 (\frac{343}{8}) - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.10

Multipliziere $- 21 (\frac{343}{8})$ .

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Schritt 4.1.10.1

Kombiniere $- 21$ und $\frac{343}{8}$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 21 \cdot 343}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.10.2

Mutltipliziere $- 21$ mit $343$ .

$\frac{7203}{8} + \frac{- 7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 {(\frac{7}{2})}^{2} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.12

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{7^{2}}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.13

Potenziere $7$ mit $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 \frac{49}{2^{2}} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.14

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 4 (\frac{49}{4}) + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 (- 1) \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} + 4 \cdot - 1 \frac{49}{4} + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 1 \cdot 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.16

Mutltipliziere $- 1$ mit $49$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 24 (\frac{7}{2}) - 35$

Schritt 4.1.17

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.17.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 (12) \frac{7}{2} - 35$

Schritt 4.1.17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 2 \cdot 12 \frac{7}{2} - 35$

Schritt 4.1.17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 12 \cdot 7 - 35$

Schritt 4.1.18

Mutltipliziere $12$ mit $7$ .

$\frac{7203}{8} - \frac{7203}{8} - 49 + 84 - 35$

Schritt 4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 49 + 84 - 35 + \frac{7203 - 7203}{8}$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $7203$ von $7203$ .

$- 49 + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $- 49$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 49}{1} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 49}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49}{1} \cdot \frac{8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.3

Mutltipliziere $\frac{- 49}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + 84 - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.4

Schreibe $84$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{84}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84}{1} \cdot \frac{8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $\frac{84}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} - 35 + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.7

Schreibe $- 35$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.8

Mutltipliziere $\frac{- 35}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{0}{8}$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $\frac{- 35}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 49 \cdot 8}{8} + \frac{84 \cdot 8}{8} + \frac{- 35 \cdot 8}{8} + \frac{0}{8}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 49 \cdot 8 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 49$ mit $8$ .

$\frac{- 392 + 84 \cdot 8 - 35 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $84$ mit $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 35 \cdot 8}{8}$

Schritt 4.5.3

Mutltipliziere $- 35$ mit $8$ .

$\frac{- 392 + 672 - 280}{8}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $- 392$ und $672$ .

$\frac{280 - 280}{8}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $280$ von $280$ .

$\frac{0}{8}$

Schritt 4.6.3

Dividiere $0$ durch $8$ .

$0$

Schritt 5

Da $\frac{7}{2}$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - \frac{7}{2}$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{6 x^{4} - 21 x^{3} - 4 x^{2} + 24 x - 35}{x - \frac{7}{2}}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(6)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$

	$6$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(6)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(21)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$
	$6$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$
	$6$	$0$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 14)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(24)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(10)$ mit dem Divisor $(\frac{7}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(35)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 35)$ .

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{7}{2}$	$6$	$- 21$	$- 4$	$24$	$- 35$
		$21$	$0$	$- 14$	$35$
	$6$	$0$	$- 4$	$10$	$0$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$6 x^{3} + 0 x^{2} + (- 4) x + 10$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$6 x^{3} - 4 x + 10$

Schritt 7

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3} - 4 x + 10$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) - 4 x + 10)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x$ heraus.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 10)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x) + 2 (5))$

Schritt 7.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{3}) + 2 (- 2 x)$ heraus.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5))$

Schritt 7.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (3 x^{3} - 2 x) + 2 (5)$ heraus.

$(x - \frac{7}{2}) (2 (3 x^{3} - 2 x + 5))$

Schritt 8

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x \approx - 1.37173942, \frac{7}{2}$

Schritt 9