Algebra Beispiele

$f (x) = {(x - 3)}^{4} {(x + 6)}^{2}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$(x^{4} + 4 x^{3} \cdot - 3 + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} {(- 3)}^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.1.2

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 6 x^{2} \cdot 9 + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x {(- 3)}^{3} + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.1.4

Potenziere $- 3$ mit $3$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} + 4 x \cdot - 27 + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $- 27$ mit $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + {(- 3)}^{4}) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.1.6

Potenziere $- 3$ mit $4$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) {(x + 6)}^{2}$

Schritt 2.2

Schreibe ${(x + 6)}^{2}$ als $(x + 6) (x + 6)$ um.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) ((x + 6) (x + 6))$

Schritt 3

Multipliziere $(x + 6) (x + 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x (x + 6) + 6 (x + 6))$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 (x + 6))$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x \cdot x + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Schritt 4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + x \cdot 6 + 6 x + 6 \cdot 6)$

Schritt 4.1.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 6)$

Schritt 4.1.3

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 6 x + 6 x + 36)$

Schritt 4.2

Addiere $6 x$ und $6 x$ .

$(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$

Schritt 5

Multipliziere $(x^{4} - 12 x^{3} + 54 x^{2} - 108 x + 81) (x^{2} + 12 x + 36)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{4} x^{2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Multipliziere $x^{4}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{4 + 2} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.1.2

Addiere $4$ und $2$ .

$x^{6} + x^{4} (12 x) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} + 12 x^{4} x + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.3

Multipliziere $x^{4}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{6} + 12 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{4}$ .

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Schritt 6.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{6} + 12 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.3.3

Addiere $1$ und $4$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + x^{4} \cdot 36 - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.4

Bringe $36$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 \cdot x^{4} - 12 x^{3} x^{2} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.5

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 (x^{2} x^{3}) - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{2 + 3} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.5.3

Addiere $2$ und $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 x^{3} (12 x) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{3} x - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.7

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.7.1

Bewege $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x \cdot x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 6.1.7.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 (x^{1} x^{3}) - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{1 + 3} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.7.3

Addiere $1$ und $3$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 12 \cdot 12 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.8

Mutltipliziere $- 12$ mit $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 12 x^{3} \cdot 36 + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.9

Mutltipliziere $36$ mit $- 12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2} x^{2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.10

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.10.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 (x^{2} x^{2}) + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.10.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{2 + 2} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.10.3

Addiere $2$ und $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 x^{2} (12 x) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{2} x + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.12

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.12.1

Bewege $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x \cdot x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.12.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.1.12.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 (x^{1} x^{2}) + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.12.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{1 + 2} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.12.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 54 \cdot 12 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.13

Mutltipliziere $54$ mit $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 36 - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.14

Mutltipliziere $36$ mit $54$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x \cdot x^{2} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.15

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.15.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.15.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.1.15.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 (x^{2} x^{1}) - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.15.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{2 + 1} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.15.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 x (12 x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x \cdot x - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.17

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.17.1

Bewege $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 (x \cdot x) - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.17.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 108 \cdot 12 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.18

Mutltipliziere $- 108$ mit $12$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 108 x \cdot 36 + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.19

Mutltipliziere $36$ mit $- 108$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 81 (12 x) + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.20

Mutltipliziere $12$ mit $81$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 81 \cdot 36$

Schritt 6.1.21

Mutltipliziere $81$ mit $36$ .

$x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{6} + 12 x^{5} + 36 x^{4} - 12 x^{5} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$ .

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $12 x^{5}$ von $12 x^{5}$ .

$x^{6} + 36 x^{4} + 0 - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $x^{6} + 36 x^{4}$ und $0$ .

$x^{6} + 36 x^{4} - 144 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $144 x^{4}$ von $36 x^{4}$ .

$x^{6} - 108 x^{4} - 432 x^{3} + 54 x^{4} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.3

Addiere $- 108 x^{4}$ und $54 x^{4}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} - 432 x^{3} + 648 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.4

Addiere $- 432 x^{3}$ und $648 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 216 x^{3} + 1944 x^{2} - 108 x^{3} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.5

Subtrahiere $108 x^{3}$ von $216 x^{3}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 1944 x^{2} - 1296 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $1296 x^{2}$ von $1944 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 648 x^{2} - 3888 x + 81 x^{2} + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.7

Addiere $648 x^{2}$ und $81 x^{2}$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 3888 x + 972 x + 2916$

Schritt 6.2.8

Addiere $- 3888 x$ und $972 x$ .

$x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$

Schritt 7

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

$q = \pm 1$

Schritt 8

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 27, \pm 36, \pm 54, \pm 81, \pm 108, \pm 162, \pm 243, \pm 324, \pm 486, \pm 729, \pm 972, \pm 1458, \pm 2916$

Schritt 9

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

${(3)}^{6} - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = 3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Potenziere $3$ mit $6$ .

$729 - 54 {(3)}^{4} + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$729 - 54 \cdot 81 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $- 54$ mit $81$ .

$729 - 4374 + 108 {(3)}^{3} + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$729 - 4374 + 108 \cdot 27 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.5

Mutltipliziere $108$ mit $27$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 {(3)}^{2} - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$729 - 4374 + 2916 + 729 \cdot 9 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.7

Mutltipliziere $729$ mit $9$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 2916 \cdot 3 + 2916$

Schritt 10.1.8

Mutltipliziere $- 2916$ mit $3$ .

$729 - 4374 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Schritt 10.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $4374$ von $729$ .

$- 3645 + 2916 + 6561 - 8748 + 2916$

Schritt 10.2.2

Addiere $- 3645$ und $2916$ .

$- 729 + 6561 - 8748 + 2916$

Schritt 10.2.3

Addiere $- 729$ und $6561$ .

$5832 - 8748 + 2916$

Schritt 10.2.4

Subtrahiere $8748$ von $5832$ .

$- 2916 + 2916$

Schritt 10.2.5

Addiere $- 2916$ und $2916$ .

$0$

Schritt 11

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916}{x - 3}$

Schritt 12

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$

	$1$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(3)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$
	$1$	$3$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 54)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 45$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 45)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 135)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(108)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 27)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 81)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(729)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Schritt 12.11

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(648)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(1944)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$

Schritt 12.12

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Schritt 12.13

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 972)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2916)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(2916)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$

Schritt 12.14

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$1$	$0$	$- 54$	$108$	$729$	$- 2916$	$2916$
		$3$	$9$	$- 135$	$- 81$	$1944$	$- 2916$
	$1$	$3$	$- 45$	$- 27$	$648$	$- 972$	$0$

Schritt 12.15

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + - 27 x^{2} + (648) x - 972$

Schritt 12.16

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{5} + 3 x^{4} - 45 x^{3} - 27 x^{2} + 648 x - 972$

Schritt 13

Löse die Gleichung, um sämtliche verbleibenden Wurzeln zu ermitteln.

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Schritt 13.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{5} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5} - 27 x^{2}$ heraus.

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Schritt 13.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$x^{2} x^{3} - 27 x^{2} + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 27 x^{2}$ heraus.

$x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27 + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} x^{3} + x^{2} \cdot - 27$ heraus.

$x^{2} (x^{3} - 27) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.3

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$x^{2} (x^{3} - 3^{3}) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.5

Faktorisiere.

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Schritt 13.1.5.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.5.1.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.5.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$x^{2} ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.6

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} - 45 x^{3} + 648 x - 972$ heraus.

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Schritt 13.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4}$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) - 45 x^{3} + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.6.2

Faktorisiere $3$ aus $- 45 x^{3}$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 648 x - 972 = 0$

Schritt 13.1.6.3

Faktorisiere $3$ aus $648 x$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4}) + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) - 972 = 0$

Schritt 13.1.6.4

Faktorisiere $3$ aus $- 972$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Schritt 13.1.6.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{4} + 3 (- 15 x^{3})$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Schritt 13.1.6.6

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4} - 15 x^{3}) + 3 (216 x)$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324 = 0$

Schritt 13.1.6.7

Faktorisiere $3$ aus $3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x) + 3 \cdot - 324$ heraus.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324) = 0$

Schritt 13.1.7

Faktorisiere.

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Schritt 13.1.7.1

Faktorisiere $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 13.1.7.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

$q = \pm 1$

Schritt 13.1.7.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 324, \pm 2, \pm 162, \pm 3, \pm 108, \pm 4, \pm 81, \pm 6, \pm 54, \pm 9, \pm 36, \pm 12, \pm 27, \pm 18$

Schritt 13.1.7.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 13.1.7.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{4} - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$81 - 15 \cdot 3^{3} + 216 \cdot 3 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$81 - 15 \cdot 27 + 216 \cdot 3 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $27$ .

$81 - 405 + 216 \cdot 3 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.5

Subtrahiere $405$ von $81$ .

$- 324 + 216 \cdot 3 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.6

Mutltipliziere $216$ mit $3$ .

$- 324 + 648 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.7

Addiere $- 324$ und $648$ .

$324 - 324$

Schritt 13.1.7.1.3.8

Subtrahiere $324$ von $324$ .

$0$

Schritt 13.1.7.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324}{x - 3}$

Schritt 13.1.7.1.5

Dividiere $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ durch $x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.7.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{4}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 13.1.7.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{4} - 3 x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

Schritt 13.1.7.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

Schritt 13.1.7.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 13.1.7.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

Schritt 13.1.7.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Schritt 13.1.7.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 12 x^{3} + 36 x^{2}$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Schritt 13.1.7.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

Schritt 13.1.7.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Schritt 13.1.7.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 36 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

Schritt 13.1.7.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Schritt 13.1.7.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 36 x^{2} + 108 x$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Schritt 13.1.7.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

Schritt 13.1.7.1.5.16

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.17

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $108 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.18

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.19

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $108 x - 324$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

Schritt 13.1.7.1.5.20

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$36 x$

$108$

$x$

$3$

$x^{4}$

$15 x^{3}$

$0 x^{2}$

$216 x$

$324$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$12 x^{3}$

$0 x^{2}$

$12 x^{3}$

$36 x^{2}$

$216 x$

$36 x^{2}$

$108 x$

$324$

$108 x$

$324$

$0$

Schritt 13.1.7.1.5.21

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108$

Schritt 13.1.7.1.6

Schreibe $x^{4} - 15 x^{3} + 216 x - 324$ als eine Menge von Faktoren.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 ((x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.7.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Schritt 13.1.8

Faktorisiere $x - 3$ aus $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ heraus.

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Schritt 13.1.8.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $x^{2} (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + 3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108) = 0$

Schritt 13.1.8.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $3 (x - 3) (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.8.3

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9)) + (x - 3) (3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108))$ heraus.

$(x - 3) (x^{2} (x^{2} + 3 x + 9) + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 3) (x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.10

Vereinfache.

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Schritt 13.1.10.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.10.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 3) (x^{2 + 2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.10.1.2

Addiere $2$ und $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.10.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + x^{2} \cdot 9 + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.10.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{2} x + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.11

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.11.1

Bewege $x$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.11.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 13.1.11.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.11.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{1 + 2} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.11.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 \cdot x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 (x^{3} - 12 x^{2} - 36 x + 108)) = 0$

Schritt 13.1.12

Wende das Distributivgesetz an.

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} + 3 (- 12 x^{2}) + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Schritt 13.1.13

Vereinfache.

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Schritt 13.1.13.1

Mutltipliziere $- 12$ mit $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} + 3 (- 36 x) + 3 \cdot 108) = 0$

Schritt 13.1.13.2

Mutltipliziere $- 36$ mit $3$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 3 \cdot 108) = 0$

Schritt 13.1.13.3

Mutltipliziere $3$ mit $108$ .

$(x - 3) (x^{4} + 3 x^{3} + 9 x^{2} + 3 x^{3} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Schritt 13.1.14

Addiere $3 x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} + 9 x^{2} - 36 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Schritt 13.1.15

Subtrahiere $36 x^{2}$ von $9 x^{2}$ .

$(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$

Schritt 13.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 13.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13.4

Setze $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.1

Setze $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324$ gleich $0$ .

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2

Löse $x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.4.2.1.1

Gruppiere die Terme um.

$x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4} + 6 x^{3}$ heraus.

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Schritt 13.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{4}$ heraus.

$x^{3} x + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{3}$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$x^{3} x + x^{3} \cdot 6 - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.2.3

Faktorisiere $x^{3}$ aus $x^{3} x + x^{3} \cdot 6$ heraus.

$x^{3} (x + 6) - 27 x^{2} - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.3

Faktorisiere $27$ aus $- 27 x^{2} - 108 x + 324$ heraus.

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Schritt 13.4.2.1.3.1

Faktorisiere $27$ aus $- 27 x^{2}$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) - 108 x + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.3.2

Faktorisiere $27$ aus $- 108 x$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 324 = 0$

Schritt 13.4.2.1.3.3

Faktorisiere $27$ aus $324$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x) + 27 (12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.3.4

Faktorisiere $27$ aus $27 (- x^{2}) + 27 (- 4 x)$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.3.5

Faktorisiere $27$ aus $27 (- x^{2} - 4 x) + 27 (12)$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 13.4.2.1.4.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 13.4.2.1.4.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ und deren Summe gleich $b = - 4$ ist.

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Schritt 13.4.2.1.4.1.1.1

Faktorisiere $- 4$ aus $- 4 x$ heraus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} - 4 x + 12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.1.1.2

Schreibe $- 4$ um als $2$ plus $- 6$

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + (2 - 6) x + 12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x^{2} + 2 x - 6 x + 12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 13.4.2.1.4.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x^{2} + 2 x) - 6 x + 12) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x + 6) + 27 (x (- x + 2) + 6 (- x + 2)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x + 2$ .

$x^{3} (x + 6) + 27 ((- x + 2) (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Schritt 13.4.2.1.5

Faktorisiere $x + 6$ aus $x^{3} (x + 6) + 27 (- x + 2) (x + 6)$ heraus.

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Schritt 13.4.2.1.5.1

Faktorisiere $x + 6$ aus $x^{3} (x + 6)$ heraus.

$(x + 6) x^{3} + 27 (- x + 2) (x + 6) = 0$

Schritt 13.4.2.1.5.2

Faktorisiere $x + 6$ aus $27 (- x + 2) (x + 6)$ heraus.

$(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.5.3

Faktorisiere $x + 6$ aus $(x + 6) x^{3} + (x + 6) (27 (- x + 2))$ heraus.

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x + 2)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(x + 6) (x^{3} + 27 (- x) + 27 \cdot 2) = 0$

Schritt 13.4.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 27 \cdot 2) = 0$

Schritt 13.4.2.1.8

Mutltipliziere $27$ mit $2$ .

$(x + 6) (x^{3} - 27 x + 54) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9

Faktorisiere.

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Schritt 13.4.2.1.9.1

Schreibe $x^{3} - 27 x + 54$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.1

Faktorisiere $x^{3} - 27 x + 54$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3

Setze $3$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $3$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3.1

Setze $3$ in das Polynom ein.

$3^{3} - 27 \cdot 3 + 54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 - 27 \cdot 3 + 54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 27$ mit $3$ .

$27 - 81 + 54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3.4

Subtrahiere $81$ von $27$ .

$- 54 + 54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.3.5

Addiere $- 54$ und $54$ .

$0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.4

Da $3$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 3$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 27 x + 54}{x - 3}$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5

Dividiere $x^{3} - 27 x + 54$ durch $x - 3$ .

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Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$9 x$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} - 9 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							-	$18 x$	+	$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x + 54$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	+	$54$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	+	$54$
							+	$18 x$	-	$54$
										$0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} + 3 x - 18$

Schritt 13.4.2.1.9.1.1.6

Schreibe $x^{3} - 27 x + 54$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 6) ((x - 3) (x^{2} + 3 x - 18)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.2

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $3$ ist.

$- 3, 6$

Schritt 13.4.2.1.9.1.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x + 6) ((x - 3) ((x - 3) (x + 6))) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.3

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 13.4.2.1.9.1.3.1

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.3.2

Potenziere $x - 3$ mit $1$ .

$(x + 6) ((x - 3) (x - 3) (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(x + 6) ({(x - 3)}^{1 + 1} (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$(x + 6) ({(x - 3)}^{2} (x + 6)) = 0$

Schritt 13.4.2.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 6) {(x - 3)}^{2} (x + 6) = 0$

Schritt 13.4.2.1.10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 13.4.2.1.10.1

Potenziere $x + 6$ mit $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.1.10.2

Potenziere $x + 6$ mit $1$ .

$(x + 6) (x + 6) {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.1.10.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 6)}^{1 + 1} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.1.10.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.3

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.2.3.1

Setze ${(x + 6)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.3.2

Löse ${(x + 6)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.2.3.2.1

Setze $x + 6$ gleich $0$ .

$x + 6 = 0$

Schritt 13.4.2.3.2.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 6$

Schritt 13.4.2.4

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.2.4.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 13.4.2.4.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.4.2.4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 13.4.2.4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 13.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 6)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 6, 3$

Schritt 13.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 3) (x^{4} + 6 x^{3} - 27 x^{2} - 108 x + 324) = 0$ wahr machen.

$x = 3, - 6$

Schritt 14

Das Polynom kann als ein Satz Linearfaktoren geschrieben werden.

$(x - 3) (x + 6)$

Schritt 15

Das sind die Wurzeln des Polynoms $x^{6} - 54 x^{4} + 108 x^{3} + 729 x^{2} - 2916 x + 2916$ .

$x = 3, - 6$

Schritt 16