Algebra Beispiele

${(x^{2} - 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an, um jeden Term zu bestimmen. Der binomische Lehrsatz sagt ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} n C k \cdot (a^{n - k} b^{k})$ .

$\sum_{k = 0}^{3} \frac{3!}{(3 - k)! k!} \cdot {(x^{2})}^{3 - k} \cdot {(- 2 y^{2})}^{k}$

Schritt 2

Multipliziere die Summe aus.

$\frac{3!}{(3 - 0)! 0!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + \frac{3!}{(3 - 1)! 1!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + \frac{3!}{(3 - 2)! 2!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + \frac{3!}{(3 - 3)! 3!} \cdot {(x^{2})}^{3 - 3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 3

Vereinfache die Exponenten für jeden Term der Expansion.

$1 \cdot {(x^{2})}^{3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{3}$ mit $1$ .

${(x^{2})}^{3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2 \cdot 3} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{6} \cdot {(- 2 y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $- 2 y^{2}$ an.

$x^{6} \cdot ({(- 2)}^{0} {(y^{2})}^{0}) + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(- 2)}^{0} x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.6

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $1$ .

$x^{6} {(y^{2})}^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.7

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.7.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} y^{2 \cdot 0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x^{6} y^{0} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.8

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{6} \cdot 1 + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $x^{6}$ mit $1$ .

$x^{6} + 3 \cdot {(x^{2})}^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.10

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} + 3 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{6} + 3 \cdot x^{4} \cdot {(- 2 y^{2})}^{1} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

$x^{6} + 3 x^{4} \cdot (- 2 y^{2}) + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.12

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(x^{2})}^{1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.14

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{1}$ .

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Schritt 4.14.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot x^{2 \cdot 1} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot x^{2} \cdot {(- 2 y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.15

Wende die Produktregel auf $- 2 y^{2}$ an.

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} \cdot ({(- 2)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.16

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 2)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.17

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 4 x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} {(y^{2})}^{2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.19

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{2}$ .

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Schritt 4.19.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{2 \cdot 2} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.19.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + 1 \cdot {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.20

Mutltipliziere ${(x^{2})}^{0}$ mit $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(x^{2})}^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.21

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{0}$ .

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Schritt 4.21.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + x^{2 \cdot 0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.21.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + x^{0} \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.22

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + 1 \cdot {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere ${(- 2 y^{2})}^{3}$ mit $1$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(- 2 y^{2})}^{3}$

Schritt 4.24

Wende die Produktregel auf $- 2 y^{2}$ an.

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} + {(- 2)}^{3} {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.25

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 {(y^{2})}^{3}$

Schritt 4.26

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{3}$ .

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Schritt 4.26.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 y^{2 \cdot 3}$

Schritt 4.26.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x^{6} - 6 x^{4} y^{2} + 12 x^{2} y^{4} - 8 y^{6}$