Algebra Beispiele

$y = - x^{2} - 5 x - 6$

Schritt 1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- x^{2} - 5 x - 6 = y$

Schritt 2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 5 x = y + 6$

Schritt 3

Wende die quadratische Ergänzung an.

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Schritt 3.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = 0 = y + 6$

Schritt 3.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e = y + 6$

Schritt 3.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 3.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Schritt 3.3.2.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$d = \frac{5}{2}$

Schritt 3.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 3.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Schritt 3.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$e = 0 - \frac{25}{- 4}$

Schritt 3.4.2.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = 0 - - \frac{25}{4}$

Schritt 3.4.2.1.4

Multipliziere $- - \frac{25}{4}$ .

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Schritt 3.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = 0 + 1 (\frac{25}{4})$

Schritt 3.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{25}{4}$ mit $1$ .

$e = 0 + \frac{25}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Addiere $0$ und $\frac{25}{4}$ .

$e = \frac{25}{4}$

Schritt 3.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4}$ ein.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{25}{4} = y + 6$

Schritt 4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $\frac{25}{4}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + 6 - \frac{25}{4}$

Schritt 4.2

Um $6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + 6 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 4.3

Kombiniere $6$ und $\frac{4}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{6 \cdot 4 - 25}{4}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{24 - 25}{4}$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $25$ von $24$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y + \frac{- 1}{4}$

Schritt 4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} = y - \frac{1}{4}$ durch $- 1$ .

$\frac{- {(x + \frac{5}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{(x + \frac{5}{2})}^{2}}{1} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Dividiere ${(x + \frac{5}{2})}^{2}$ durch $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{y}{- 1} + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{y}{- 1}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - 1 \cdot y + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot y$ als $- y$ um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{- \frac{1}{4}}{- 1}$

Schritt 5.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Schritt 5.3.1.4

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y + \frac{1}{4}$

Schritt 6

Faktorisiere.

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Schritt 6.1

Um $- y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = - y \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 6.2

Kombiniere $- y$ und $\frac{4}{4}$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- y \cdot 4 + 1}{4}$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{- 4 y + 1}{4}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

${(x + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{1}{4} (- 4 y + 1)$