Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} + 5 x + 4}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Schritt 1

Faktorisiere $x^{2} + 5 x + 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $4$ und deren Summe $5$ ist.

$1, 4$

Schritt 1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 4) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x^{2} - 2^{2}) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} - 27 x - 36}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2} - 27 x - 36$ heraus.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) - 27 x - 36}$

Schritt 3.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 27 x$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2}) + 9 (- 3 x) - 36}$

Schritt 3.1.3

Faktorisiere $9$ aus $- 36$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 x^{2} + 9 (- 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.4

Faktorisiere $9$ aus $9 x^{2} + 9 (- 3 x)$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4}$

Schritt 3.1.5

Faktorisiere $9$ aus $9 (x^{2} - 3 x) + 9 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x^{2} - 3 x - 4)}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 3.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 ((x - 4) (x + 1))}$

$\frac{(x + 1) (x + 4)}{(x + 2) (x - 2) (3 x + 1)} - \frac{x^{3} - 49}{9 (x - 4) (x + 1)}$

Schritt 4

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1), 9 (x - 4) (x + 1)$

Schritt 5

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 7

$9$ hat Faktoren von $3$ und $3$ .

$3 \cdot 3$

Schritt 8

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$9$

Schritt 9

Der Teiler von $x + 2$ ist $x + 2$ selbst.

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 10

Der Teiler von $x - 2$ ist $x - 2$ selbst.

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ occurs $1$ time.

Schritt 11

Der Teiler von $3 x + 1$ ist $3 x + 1$ selbst.

$(3 x + 1) = 3 x + 1$

$(3 x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 12

Der Teiler von $x - 4$ ist $x - 4$ selbst.

$(x - 4) = x - 4$

$(x - 4)$ occurs $1$ time.

Schritt 13

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 14

Das kgV von $x + 2, x - 2, 3 x + 1, x - 4, x + 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$(x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$

Schritt 15

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$9 (x + 2) (x - 2) (3 x + 1) (x - 4) (x + 1)$