Algebra Beispiele

${(3 - 2 x)}^{6}$

Schritt 1

Das Pascalsche Dreieck kann als solches dargestellt werden:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

Das Dreieck kann dazu genutzt werden, die Koeffizienten für das Ausmultiplizieren von ${(a + b)}^{n}$ zu berechnen durch Addition von $1$ zum Exponenten $n$ . Die Koeffizienten finden sich in der Zeile $n + 1$ des Dreiecks. Für ${(3 - 2 x)}^{6}$ gilt $n = 6$ , folglich finden sich die Koeffizienten des ausmultiplizierten Binoms in Zeile $7$ .

Schritt 2

Das Ausmultiplizieren folgt der Regel ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ . Die Werte der Koeffizienten gemäß dem Dreieck sind $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ .

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

Schritt 3

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ $3$ und $b$ $- 2 x$ in den Ausdruck ein.

$1 {(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere ${(3)}^{6}$ mit $1$ .

${(3)}^{6} {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.2

Potenziere $3$ mit $6$ .

$729 {(- 2 x)}^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.3

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 ({(- 2)}^{0} x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$729 (1 x^{0}) + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.5

Mutltipliziere $x^{0}$ mit $1$ .

$729 x^{0} + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$729 \cdot 1 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.7

Mutltipliziere $729$ mit $1$ .

$729 + 6 {(3)}^{5} {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.8

Potenziere $3$ mit $5$ .

$729 + 6 \cdot 243 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $6$ mit $243$ .

$729 + 1458 {(- 2 x)}^{1} + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.10

Vereinfache.

$729 + 1458 (- 2 x) + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $1458$ .

$729 - 2916 x + 15 {(3)}^{4} {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.12

Potenziere $3$ mit $4$ .

$729 - 2916 x + 15 \cdot 81 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.13

Mutltipliziere $15$ mit $81$ .

$729 - 2916 x + 1215 {(- 2 x)}^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.14

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 - 2916 x + 1215 ({(- 2)}^{2} x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.15

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$729 - 2916 x + 1215 (4 x^{2}) + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.16

Mutltipliziere $4$ mit $1215$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 {(3)}^{3} {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.17

Potenziere $3$ mit $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 20 \cdot 27 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.18

Mutltipliziere $20$ mit $27$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 {(- 2 x)}^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.19

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 ({(- 2)}^{3} x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.20

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} + 540 (- 8 x^{3}) + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.21

Mutltipliziere $- 8$ mit $540$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 {(3)}^{2} {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.22

Potenziere $3$ mit $2$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 15 \cdot 9 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.23

Mutltipliziere $15$ mit $9$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 {(- 2 x)}^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.24

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 ({(- 2)}^{4} x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.25

Potenziere $- 2$ mit $4$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 135 (16 x^{4}) + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.26

Mutltipliziere $16$ mit $135$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 {(3)}^{1} {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.27

Berechne den Exponenten.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 6 \cdot 3 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.28

Mutltipliziere $6$ mit $3$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 {(- 2 x)}^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.29

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 ({(- 2)}^{5} x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.30

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} + 18 (- 32 x^{5}) + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.31

Mutltipliziere $- 32$ mit $18$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.32

Mutltipliziere ${(3)}^{0}$ mit $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(3)}^{0} {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.33

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 1 {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.34

Mutltipliziere ${(- 2 x)}^{6}$ mit $1$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2 x)}^{6}$

Schritt 4.35

Wende die Produktregel auf $- 2 x$ an.

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + {(- 2)}^{6} x^{6}$

Schritt 4.36

Potenziere $- 2$ mit $6$ .

$729 - 2916 x + 4860 x^{2} - 4320 x^{3} + 2160 x^{4} - 576 x^{5} + 64 x^{6}$