Algebra Beispiele

$f (x) = 10 x^{3} - 25 x - x^{5}$

Schritt 1

Setze $10 x^{3} - 25 x - x^{5}$ gleich $0$ .

$10 x^{3} - 25 x - x^{5} = 0$

Schritt 2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- x$ aus $10 x^{3} - 25 x - x^{5}$ heraus.

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Schritt 2.1.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 2.1.1.1.1

Bewege $- 25 x$ .

$10 x^{3} - x^{5} - 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.1.2

Stelle $10 x^{3}$ und $- x^{5}$ um.

$- x^{5} + 10 x^{3} - 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.2

Faktorisiere $- x$ aus $- x^{5}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} + 10 x^{3} - 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.3

Faktorisiere $- x$ aus $10 x^{3}$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 10 x^{2}) - 25 x = 0$

Schritt 2.1.1.4

Faktorisiere $- x$ aus $- 25 x$ heraus.

$- x \cdot x^{4} - x (- 10 x^{2}) - x \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.1.5

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4}) - x (- 10 x^{2})$ heraus.

$- x (x^{4} - 10 x^{2}) - x \cdot 25 = 0$

Schritt 2.1.1.6

Faktorisiere $- x$ aus $- x (x^{4} - 10 x^{2}) - x (25)$ heraus.

$- x (x^{4} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.2

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$- x ({(x^{2})}^{2} - 10 x^{2} + 25) = 0$

Schritt 2.1.3

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$- x (u^{2} - 10 u + 25) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$- x (u^{2} - 10 u + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 u = 2 \cdot u \cdot 5$

Schritt 2.1.4.3

Schreibe das Polynom neu.

$- x (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 5 + 5^{2}) = 0$

Schritt 2.1.4.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 5$ .

$- x {(u - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.1.5

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- x {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x^{2} - 5)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x^{2} - 5)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Setze $x^{2} - 5$ gleich $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Schritt 2.4.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 5$

Schritt 2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Schritt 2.4.2.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.4.2.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{5}$

Schritt 2.4.2.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{5}$

Schritt 2.4.2.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- x {(x^{2} - 5)}^{2} = 0$ wahr machen. Die Multiplizität einer Wurzel gibt an, wie oft die Wurzel auftritt.

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = 0$ (Vielfachheit von $1$ )

$x = \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $2$ )

$x = - \sqrt{5}$ (Vielfachheit von $2$ )

Schritt 3