Algebra Beispiele

$(4, 80)$ , $(- 3, - 11)$ , $(- 1, - 15)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$80 = a {(4)}^{2} + b (4) + c, - 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c, - 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $80 = a \cdot 4^{2} + b (4) + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 4^{2} + b (4) + c = 80$ um.

$a \cdot 4^{2} + b (4) + c = 80$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$a \cdot 16 + b (4) + c = 80$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.2.2

Bringe $16$ auf die linke Seite von $a$ .

$16 \cdot a + b (4) + c = 80$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.2.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $b$ .

$16 a + 4 b + c = 80$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$16 a + 4 b + c = 80$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $c$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.3.1

Subtrahiere $16 a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 b + c = 80 - 16 a$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $4 b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $80 - 16 a - 4 b$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + c$ durch $80 - 16 a - 4 b$ .

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache $a {(- 3)}^{2} + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$- 11 = a \cdot 9 + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.1.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $a$ .

$- 11 = 9 \cdot a + b (- 3) + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.1.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $b$ .

$- 11 = 9 a - 3 b + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = 9 a - 3 b + 80 - 16 a - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.2.2.1.2.1

Subtrahiere $16 a$ von $9 a$ .

$- 11 = - 7 a - 3 b + 80 - 4 b$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2.2

Subtrahiere $4 b$ von $- 3 b$ .

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ durch $80 - 16 a - 4 b$ .

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4

Vereinfache $- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$ .

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Schritt 3.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1.1

Entferne die Klammern.

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Vereinfache $a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.2.1.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 15 = a \cdot 1 + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2.1.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$- 15 = a + b (- 1) + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2.1.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$- 15 = a - 1 b + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2.1.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$- 15 = a - b + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = a - b + 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.2.4.2.1.2.1

Subtrahiere $16 a$ von $a$ .

$- 15 = - 15 a - b + 80 - 4 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.2.4.2.1.2.2

Subtrahiere $4 b$ von $- b$ .

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 = - 15 a - 5 b + 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3

Löse in $- 15 = - 15 a - 5 b + 80$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 15 a - 5 b + 80 = - 15$ um.

$- 15 a - 5 b + 80 = - 15$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $5 b$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 a + 80 = - 15 + 5 b$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $80$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 15 a = - 15 + 5 b - 80$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $80$ von $- 15$ .

$- 15 a = 5 b - 95$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 15 a = 5 b - 95$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 15 a = 5 b - 95$ durch $- 15$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 15 a = 5 b - 95$ durch $- 15$ .

$\frac{- 15 a}{- 15} = \frac{5 b}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 15$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 15 a}{- 15} = \frac{5 b}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{5 b}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = \frac{5 b}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = \frac{5 b}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $- 15$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 b$ heraus.

$a = \frac{5 (b)}{- 15} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15$ heraus.

$a = \frac{5 b}{5 \cdot - 3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{5 b}{5 \cdot - 3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = \frac{b}{- 3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = \frac{b}{- 3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = \frac{b}{- 3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{- 95}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 95$ und $- 15$ .

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Schritt 3.3.3.3.1.3.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 95$ heraus.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{- 5 \cdot 19}{- 15}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.3.1.3.2.1

Faktorisiere $- 5$ aus $- 15$ heraus.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{- 5 \cdot 19}{- 5 \cdot 3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{- 5 \cdot 19}{- 5 \cdot 3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.3.3.3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$- 11 = - 7 a - 7 b + 80$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $- 11 = - 7 a - 7 b + 80$ durch $- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$ .

$- 11 = - 7 (- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}) - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $- 7 (- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}) - 7 b + 80$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 11 = - 7 (- \frac{b}{3}) - 7 (\frac{19}{3}) - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Multipliziere $- 7 (- \frac{b}{3})$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$- 11 = 7 (\frac{b}{3}) - 7 (\frac{19}{3}) - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Kombiniere $7$ und $\frac{b}{3}$ .

$- 11 = \frac{7 b}{3} - 7 (\frac{19}{3}) - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = \frac{7 b}{3} - 7 (\frac{19}{3}) - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.1.3

Multipliziere $- 7 (\frac{19}{3})$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.3.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{19}{3}$ .

$- 11 = \frac{7 b}{3} + \frac{- 7 \cdot 19}{3} - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $19$ .

$- 11 = \frac{7 b}{3} + \frac{- 133}{3} - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = \frac{7 b}{3} + \frac{- 133}{3} - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 11 = \frac{7 b}{3} - \frac{133}{3} - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = \frac{7 b}{3} - \frac{133}{3} - 7 b + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.2

Um $- 7 b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 11 = \frac{7 b}{3} - 7 b \cdot \frac{3}{3} - \frac{133}{3} + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.3

Kombiniere $- 7 b$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 11 = \frac{7 b}{3} + \frac{- 7 b \cdot 3}{3} - \frac{133}{3} + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 11 = \frac{7 b - 7 b \cdot 3}{3} - \frac{133}{3} + 80$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 11 = 80 + \frac{7 b - 7 b \cdot 3 - 133}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$- 11 = 80 + \frac{7 b - 21 b - 133}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.7

Subtrahiere $21 b$ von $7 b$ .

$- 11 = 80 + \frac{- 14 b - 133}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.8

Faktorisiere $7$ aus $- 14 b - 133$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.8.1

Faktorisiere $7$ aus $- 14 b$ heraus.

$- 11 = 80 + \frac{7 (- 2 b) - 133}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.8.2

Faktorisiere $7$ aus $- 133$ heraus.

$- 11 = 80 + \frac{7 (- 2 b) + 7 (- 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.8.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (- 2 b) + 7 (- 19)$ heraus.

$- 11 = 80 + \frac{7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = 80 + \frac{7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.9

Um $80$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 11 = 80 \cdot \frac{3}{3} + \frac{7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.2.1.10.1

Kombiniere $80$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 11 = \frac{80 \cdot 3}{3} + \frac{7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 11 = \frac{80 \cdot 3 + 7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = \frac{80 \cdot 3 + 7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.2.1.11.1

Mutltipliziere $80$ mit $3$ .

$- 11 = \frac{240 + 7 (- 2 b - 19)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 11 = \frac{240 + 7 (- 2 b) + 7 \cdot - 19}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.11.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$- 11 = \frac{240 - 14 b + 7 \cdot - 19}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.11.4

Mutltipliziere $7$ mit $- 19$ .

$- 11 = \frac{240 - 14 b - 133}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.11.5

Subtrahiere $133$ von $240$ .

$- 11 = \frac{- 14 b + 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = \frac{- 14 b + 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.12

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.2.1.12.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 14 b$ heraus.

$- 11 = \frac{- (14 b) + 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.12.2

Schreibe $107$ als $- 1 (- 107)$ um.

$- 11 = \frac{- (14 b) - 1 \cdot - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.12.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (14 b) - 1 (- 107)$ heraus.

$- 11 = \frac{- (14 b - 107)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.12.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.2.1.12.4.1

Schreibe $- (14 b - 107)$ als $- 1 (14 b - 107)$ um.

$- 11 = \frac{- 1 (14 b - 107)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.2.1.12.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 - 16 a - 4 b$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $a$ in $c = 80 - 16 a - 4 b$ durch $- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$ .

$c = 80 - 16 (- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}) - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.1

Vereinfache $80 - 16 (- \frac{b}{3} + \frac{19}{3}) - 4 b$ .

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Schritt 3.4.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.4.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$c = 80 - 16 (- \frac{b}{3}) - 16 (\frac{19}{3}) - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.1.2

Multipliziere $- 16 (- \frac{b}{3})$ .

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Schritt 3.4.4.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 16$ .

$c = 80 + 16 (\frac{b}{3}) - 16 (\frac{19}{3}) - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.1.2.2

Kombiniere $16$ und $\frac{b}{3}$ .

$c = 80 + \frac{16 b}{3} - 16 (\frac{19}{3}) - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 + \frac{16 b}{3} - 16 (\frac{19}{3}) - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.1.3

Multipliziere $- 16 (\frac{19}{3})$ .

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Schritt 3.4.4.1.1.3.1

Kombiniere $- 16$ und $\frac{19}{3}$ .

$c = 80 + \frac{16 b}{3} + \frac{- 16 \cdot 19}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $19$ .

$c = 80 + \frac{16 b}{3} + \frac{- 304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 + \frac{16 b}{3} + \frac{- 304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = 80 + \frac{16 b}{3} - \frac{304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = 80 + \frac{16 b}{3} - \frac{304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.2

Um $80$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$c = \frac{16 b}{3} + 80 \cdot \frac{3}{3} - \frac{304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.3

Kombiniere $80$ und $\frac{3}{3}$ .

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{80 \cdot 3}{3} - \frac{304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{80 \cdot 3 - 304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1.5.1

Mutltipliziere $80$ mit $3$ .

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{240 - 304}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.5.2

Subtrahiere $304$ von $240$ .

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{- 64}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{- 64}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$c = \frac{16 b}{3} - \frac{64}{3} - 4 b$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.7

Um $- 4 b$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$c = \frac{16 b}{3} - 4 b \cdot \frac{3}{3} - \frac{64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.8

Kombiniere $- 4 b$ und $\frac{3}{3}$ .

$c = \frac{16 b}{3} + \frac{- 4 b \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$c = \frac{16 b - 4 b \cdot 3}{3} - \frac{64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$c = \frac{16 b - 4 b \cdot 3 - 64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$c = \frac{16 b - 12 b - 64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.12

Subtrahiere $12 b$ von $16 b$ .

$c = \frac{4 b - 64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.13

Faktorisiere $4$ aus $4 b - 64$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $4 b$ heraus.

$c = \frac{4 (b) - 64}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.13.2

Faktorisiere $4$ aus $- 64$ heraus.

$c = \frac{4 b + 4 \cdot - 16}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.4.4.1.13.3

Faktorisiere $4$ aus $4 b + 4 \cdot - 16$ heraus.

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5

Löse in $- 11 = - \frac{14 b - 107}{3}$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{14 b - 107}{3} = - 11$ um.

$- \frac{14 b - 107}{3} = - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 3$ .

$- 3 (- \frac{14 b - 107}{3}) = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1.1

Vereinfache $- 3 (- \frac{14 b - 107}{3})$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.3.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{14 b - 107}{3}$ in den Zähler.

$- 3 \frac{- (14 b - 107)}{3} = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.1.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (- 1) (\frac{- (14 b - 107)}{3}) = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot (- 1 \frac{- (14 b - 107)}{3}) = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.5.3.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (14 b - 107) = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.1.1.2.2

Mutltipliziere $14 b - 107$ mit $1$ .

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = - 3 \cdot - 11$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 11$ .

$14 b - 107 = 33$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = 33$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b - 107 = 33$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1

Addiere $107$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 b = 33 + 107$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.4.2

Addiere $33$ und $107$ .

$14 b = 140$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$14 b = 140$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.5

Teile jeden Ausdruck in $14 b = 140$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $14 b = 140$ durch $14$ .

$\frac{14 b}{14} = \frac{140}{14}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 3.5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 b}{14} = \frac{140}{14}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.5.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{140}{14}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$b = \frac{140}{14}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$b = \frac{140}{14}$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.5.3.1

Dividiere $140$ durch $14$ .

$b = 10$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$b = 10$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$b = 10$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$b = 10$

$c = \frac{4 (b - 16)}{3}$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $10$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $c = \frac{4 (b - 16)}{3}$ durch $10$ .

$c = \frac{4 ((10) - 16)}{3}$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $\frac{4 ((10) - 16)}{3}$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Subtrahiere $16$ von $10$ .

$c = \frac{4 \cdot - 6}{3}$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$c = \frac{- 24}{3}$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.6.2.1.3

Dividiere $- 24$ durch $3$ .

$c = - 8$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $b$ in $a = - \frac{b}{3} + \frac{19}{3}$ durch $10$ .

$a = - \frac{10}{3} + \frac{19}{3}$

$c = - 8$

$b = 10$

Schritt 3.6.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.4.1

Vereinfache $- \frac{10}{3} + \frac{19}{3}$ .

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Schritt 3.6.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- 10 + 19}{3}$

$c = - 8$

$b = 10$

Schritt 3.6.4.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.4.1.2.1

Addiere $- 10$ und $19$ .

$a = \frac{9}{3}$

$c = - 8$

$b = 10$

Schritt 3.6.4.1.2.2

Dividiere $9$ durch $3$ .

$a = 3$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = 3$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = 3$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = 3$

$c = - 8$

$b = 10$

$a = 3$

$c = - 8$

$b = 10$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = 3, c = - 8, b = 10$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = 3 x^{2} + 10 x - 8$

Schritt 5