Algebra Beispiele

$f (x) = 0.25 {(2 x - 15)}^{2} + 150$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(2 x - 15)}^{2}$ als $(2 x - 15) (2 x - 15)$ um.

$f (x) = 0.25 ((2 x - 15) (2 x - 15)) + 150$

Schritt 1.2

Multipliziere $(2 x - 15) (2 x - 15)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x - 15) - 15 (2 x - 15)) + 150$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x - 15)) + 150$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 0.25 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.2.1

Bewege $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x) = 0.25 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 15 - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $- 15$ mit $2$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 15 (2 x) - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x - 15 \cdot - 15) + 150$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 15$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 30 x - 30 x + 225) + 150$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $30 x$ von $- 30 x$ .

$f (x) = 0.25 (4 x^{2} - 60 x + 225) + 150$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) = 0.25 (4 x^{2}) + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Multipliziere $0.25 (4 x^{2})$ .

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Schritt 1.5.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $0.25$ .

$f (x) = 1 x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (x) = x^{2} + 0.25 (- 60 x) + 0.25 \cdot 225 + 150$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $- 60$ mit $0.25$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 0.25 \cdot 225 + 150$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $0.25$ mit $225$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 56.25 + 150$

Schritt 2

Addiere $56.25$ und $150$ .

$f (x) = x^{2} - 15 x + 206.25$

Schritt 3

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 4

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 4.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Schritt 4.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 15}{2 (1)}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{- 15}{2 (1)}$ .

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = - \frac{- 15}{2}$

Schritt 4.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{15}{2}$

Schritt 4.3.3

Multipliziere $- - \frac{15}{2}$ .

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Schritt 4.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{15}{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Schritt 5

Berechne $f (\frac{15}{2})$ .

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Schritt 5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = {(\frac{15}{2})}^{2} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Schritt 5.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{15}{2}$ an.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{15^{2}}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Schritt 5.2.1.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{2^{2}} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Schritt 5.2.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - 15 (\frac{15}{2}) + 206.25$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $- 15 (\frac{15}{2})$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 15 \cdot 15}{2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 15$ mit $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 225$ und $2$ .

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Schritt 5.2.1.5.1

Schreibe $- 225$ als $1 (- 225)$ um.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 (- 225)}{2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.5.2.1

Schreibe $2$ als $1 (2)$ um.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{1 \cdot - 225}{1 \cdot 2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} + \frac{- 225}{2} + 206.25$

Schritt 5.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225}{2} + 206.25$

Schritt 5.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 5.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{225}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - (\frac{225}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 206.25$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{225}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 206.25$

Schritt 5.2.2.3

Schreibe $206.25$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1}$

Schritt 5.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{206.25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{206.25}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225}{4} - \frac{225 \cdot 2}{4} + \frac{206.25 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 225 \cdot 2 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Mutltipliziere $- 225$ mit $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 206.25 \cdot 4}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Mutltipliziere $206.25$ mit $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{225 - 450 + 825}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.5.1

Subtrahiere $450$ von $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 225 + 825}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 225$ und $825$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{600}{4}$

Schritt 5.2.5.3

Dividiere $600$ durch $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = 150$

Schritt 5.2.6

Die endgültige Lösung ist $150$ .

$150$

Schritt 6

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(\frac{15}{2}, 150)$

Schritt 7