Algebra Beispiele

$(5, 0.12)$ , $(5, 22)$ , $(5, 7)$

Schritt 1

Es gibt zwei allgemeine Gleichungen für eine Ellipse.

Horizontale Ellipsengleichung $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Vertikale Ellipsengleichung $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 2

$a$ ist der Abstand zwischen dem Scheitelpunkt $(5, 22)$ und dem Mittelpunkt $(5, 0.12)$ .

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Schritt 2.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 2.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$a = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$a = \sqrt{0^{2} + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a = \sqrt{0 + {(22 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Subtrahiere $0.12$ von $22$ .

$a = \sqrt{0 + {21.88}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Potenziere $21.88$ mit $2$ .

$a = \sqrt{0 + 478.7344}$

Schritt 2.3.5

Addiere $0$ und $478.7344$ .

$a = \sqrt{478.7344}$

Schritt 3

$c$ ist der Abstand zwischen dem Brennpunkt $(5, 7)$ und dem Mittelpunkt $(5, 0.12)$ .

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Schritt 3.1

Wende die Abstandsformel an, um den Abstand zwischen den zwei Punkten zu bestimmen.

$Abstand = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Schritt 3.2

Setze die tatsächlichen Werte der Punkte in die Abstandsformel ein.

$c = \sqrt{{(5 - 5)}^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$c = \sqrt{0^{2} + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$c = \sqrt{0 + {(7 - 0.12)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $0.12$ von $7$ .

$c = \sqrt{0 + {6.88}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Potenziere $6.88$ mit $2$ .

$c = \sqrt{0 + 47.3344}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $47.3344$ .

$c = \sqrt{47.3344}$

Schritt 4

Wir benutzen die Gleichung $c^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Setze $\sqrt{478.7344}$ für $a$ und $\sqrt{47.3344}$ für $c$ ein.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als ${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$ um.

${(\sqrt{478.7344})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ als $478.7344$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{478.7344}$ als ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${478.7344}^{\frac{2}{2}} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

${478.7344}^{1} - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$478.7344 - b^{2} = {\sqrt{47.3344}}^{2}$

Schritt 4.3

Schreibe ${\sqrt{47.3344}}^{2}$ als $47.3344$ um.

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Schritt 4.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{47.3344}$ als ${47.3344}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$478.7344 - b^{2} = {({47.3344}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$478.7344 - b^{2} = {47.3344}^{1}$

Schritt 4.3.5

Berechne den Exponenten.

$478.7344 - b^{2} = 47.3344$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $478.7344$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- b^{2} = 47.3344 - 478.7344$

Schritt 4.4.2

Subtrahiere $478.7344$ von $47.3344$ .

$- b^{2} = - 431.4$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 431.4$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- b^{2} = - 431.4$ durch $- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $b^{2}$ durch $1$ .

$b^{2} = \frac{- 431.4}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Dividiere $- 431.4$ durch $- 1$ .

$b^{2} = 431.4$

Schritt 4.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$b = \pm \sqrt{431.4}$

Schritt 4.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 4.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$b = \sqrt{431.4}$

Schritt 4.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$b = - \sqrt{431.4}$

Schritt 4.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$b = \sqrt{431.4}, - \sqrt{431.4}$

Schritt 5

$b$ ist ein Abstand, d. h., es sollte eine positive Zahl sein.

$b = \sqrt{431.4}$

Schritt 6

Die Steigung der Geraden zwischen dem Brennpunkt $(5, 7)$ und dem Mittelpunkt $(5, 0.12)$ bestimmt, ob die Ellipse vertikal oder horizontal ist. Wenn die Steigung gleich $0$ ist, ist der Graph horizontal. Ist die Steigung nicht definiert, ist der Graph vertikal.

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Schritt 6.1

Die Steigung ist gleich der Änderung von $y$ dividiert durch die Änderung von $x$ .

$m = \frac{Änderung in y}{Änderung in x}$

Schritt 6.2

Die Änderung von $x$ ist gleich der Differenz zwischen den x-Koordinaten und die Änderung von $y$ ist gleich der Differenz zwischen den y-Koordinaten.

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Schritt 6.3

Setze die Werte von $x$ und $y$ in die Gleichung ein, um die Steigung zu ermitteln.

$m = \frac{0.12 - (7)}{5 - (5)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{5 - 5}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{0.12 - (7)}{0}$

Schritt 6.4.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 6.5

Die allgemeine Gleichung für eine vertikale Ellipse ist $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 7

Setze die Werte $h = 5$ , $k = 0.12$ , $a = \sqrt{478.7344}$ und $b = \sqrt{431.4}$ in $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$ ein, um die Ellipsengleichung $\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$ zu erhalten.

$\frac{{(y - (0.12))}^{2}}{{(\sqrt{478.7344})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8

Vereinfache, um die endgültige Gleichung der Ellipse zu bestimmen.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0.12$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{\sqrt{478.7344}}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2

Schreibe ${\sqrt{478.7344}}^{2}$ als $478.7344$ um.

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Schritt 8.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{478.7344}$ als ${478.7344}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{({478.7344}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{{478.7344}^{\frac{2}{2}}} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.3

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.4

Faktorisiere $478.7344$ aus $478.7344$ heraus.

$\frac{1 {(y - 0.12)}^{2}}{478.7344 (1)} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.5

Separiere Brüche.

$\frac{1}{478.7344} \cdot \frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.6

Dividiere $1$ durch $478.7344$ .

$0.00208884 (\frac{{(y - 0.12)}^{2}}{1}) + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.7

Dividiere ${(y - 0.12)}^{2}$ durch $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - (5))}^{2}}{{(\sqrt{431.4})}^{2}} = 1$

Schritt 8.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{\sqrt{431.4}}^{2}} = 1$

Schritt 8.9

Schreibe ${\sqrt{431.4}}^{2}$ als $431.4$ um.

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Schritt 8.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{431.4}$ als ${431.4}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{({431.4}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Schritt 8.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Schritt 8.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{{431.4}^{\frac{2}{2}}} = 1$

Schritt 8.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Schritt 8.9.5

Berechne den Exponenten.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{{(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Schritt 8.10

Multipliziere mit $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4} = 1$

Schritt 8.11

Faktorisiere $431.4$ aus $431.4$ heraus.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1 {(x - 5)}^{2}}{431.4 (1)} = 1$

Schritt 8.12

Separiere Brüche.

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + \frac{1}{431.4} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{1} = 1$

Schritt 8.13

Dividiere $1$ durch $431.4$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 (\frac{{(x - 5)}^{2}}{1}) = 1$

Schritt 8.14

Dividiere ${(x - 5)}^{2}$ durch $1$ .

$0.00208884 {(y - 0.12)}^{2} + 0.00231803 {(x - 5)}^{2} = 1$

Schritt 9