Algebra Beispiele

$4 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{2}} - 5 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.8

Kombiniere $4$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.10

Faktorisiere $2$ aus $12 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.11.4

Dividiere $6 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.9

Kombiniere $- 5$ und $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$6 x^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$