Algebra Beispiele

$\frac{5}{2 x - 1} < x - 2$

Schritt 1

Löse $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ .

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Schritt 1.1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5}{2 x - 1} - x < - 2$

Schritt 1.1.2

Addiere $2$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{5}{2 x - 1} - x + 2 < 0$

Schritt 1.2

Vereinfache $\frac{5}{2 x - 1} - x + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} - x \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $- x$ und $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{5}{2 x - 1} + \frac{- x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - x (2 x - 1)}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 - x (2 x) - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 1}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.3

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + 1 x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x \cdot x + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.4.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.2.4.4.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{5 - 1 \cdot 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{5 - 2 x^{2} + x}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + 2 < 0$

Schritt 1.2.5

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5}{2 x - 1} + \frac{2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x + 2 \cdot - 1}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + x + 5 + 4 x - 2}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.4

Addiere $x$ und $4 x$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 5 - 2}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.5

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 5 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.7.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 2 \cdot 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.2.7.6.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$\frac{- 2 x^{2} + 5 (x) + 3}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$\frac{- 2 x^{2} + (- 1 + 6) x + 3}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 2 x^{2} - 1 x + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.7.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 2 x^{2} - 1 x) + 6 x + 3}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{x (- 2 x - 1) - 3 (- 2 x - 1)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.7.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 x - 1$ .

$\frac{(- 2 x - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{(- (2 x) - 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.9

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{(- (2 x) - 1 (1)) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.11

Schreibe $- (2 x + 1)$ als $- 1 (2 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.2.12

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1} < 0$

Schritt 1.3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$2 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 1.5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 1.7

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 1.8

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.8.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.8.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = 3$

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.10

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = - \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{2}$

Schritt 1.11

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ .

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Schritt 1.11.1

Setze den Nenner in $\frac{(2 x + 1) (x - 3)}{2 x - 1}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x - 1 = 0$

Schritt 1.11.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.11.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 1$

Schritt 1.11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.11.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 1.11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 1.12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 3$

$x > 3$

Schritt 1.13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 1.13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{2 (- 3) - 1} < (- 3) - 2$

Schritt 1.13.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{714285}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $- 5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.13.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 1.13.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{2 (0) - 1} < (0) - 2$

Schritt 1.13.2.3

Die linke Seite $- 5$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.13.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{1}{2} < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{1}{2} < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 1.13.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{2 (2) - 1} < (2) - 2$

Schritt 1.13.3.3

Die linke Seite $1.\overline{6}$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 1.13.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 1.13.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{5}{2 (6) - 1} < (6) - 2$

Schritt 1.13.4.3

Die linke Seite $0.\overline{45}$ ist kleiner als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 1.13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - \frac{1}{2}$ Falsch

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ Wahr

$\frac{1}{2} < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 1.14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2}$ oder $x > 3$

Schritt 2

Verwende die Ungleichung $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3$ , um die Mengenschreibweise aufzustellen.

${x | - \frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} or x > 3}$

Schritt 3