Algebra Beispiele

$y = \frac{t^{3} + 1}{t^{4} - 2}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{3} + 1$ und $g (t) = t^{4} - 2$ .

$\frac{(t^{4} - 2) \frac{d}{d t} [t^{3} + 1] - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{3} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2} + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2} + 0) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $3 t^{2}$ und $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 2]}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.7

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3} + 0)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 2.8

Addiere $4 t^{3}$ und $0$ .

$\frac{(t^{4} - 2) (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) - (t^{3} + 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) + (- t^{3} - 1 \cdot 1) (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{t^{4} (3 t^{2}) - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 t^{4} t^{2} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $t^{4}$ mit $t^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.2.1

Bewege $t^{2}$ .

$\frac{3 (t^{2} t^{4}) - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 t^{2 + 4} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2.3

Addiere $2$ und $4$ .

$\frac{3 t^{6} - 2 (3 t^{2}) - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - t^{3} (4 t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{3} t^{3} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Multipliziere $t^{3}$ mit $t^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.5.1

Bewege $t^{3}$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{3}) - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{3 + 3} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5.3

Addiere $3$ und $3$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 1 \cdot 4 t^{6} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 1 \cdot 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 1 (4 t^{3})}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{3 t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{6} - 4 t^{3}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $4 t^{6}$ von $3 t^{6}$ .

$\frac{- t^{6} - 6 t^{2} - 4 t^{3}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- t^{6} - 4 t^{3} - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- t^{6} - 4 t^{3} - 6 t^{2}$ heraus.

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Schritt 3.6.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- t^{6}$ heraus.

$\frac{t^{2} (- t^{4}) - 4 t^{3} - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 4 t^{3}$ heraus.

$\frac{t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t) - 6 t^{2}}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 6 t^{2}$ heraus.

$\frac{t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t) + t^{2} \cdot - 6}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} (- t^{4}) + t^{2} (- 4 t)$ heraus.

$\frac{t^{2} (- t^{4} - 4 t) + t^{2} \cdot - 6}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.6.5

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} (- t^{4} - 4 t) + t^{2} \cdot - 6$ heraus.

$\frac{t^{2} (- t^{4} - 4 t - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- t^{4}$ heraus.

$\frac{t^{2} (- (t^{4}) - 4 t - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 t$ heraus.

$\frac{t^{2} (- (t^{4}) - (4 t) - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{4}) - (4 t)$ heraus.

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t) - 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.10

Schreibe $- 6$ als $- 1 (6)$ um.

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t) - 1 (6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (t^{4} + 4 t) - 1 (6)$ heraus.

$\frac{t^{2} (- (t^{4} + 4 t + 6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.12

Schreibe $- (t^{4} + 4 t + 6)$ als $- 1 (t^{4} + 4 t + 6)$ um.

$\frac{t^{2} (- 1 (t^{4} + 4 t + 6))}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$

Schritt 3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{t^{2} (t^{4} + 4 t + 6)}{{(t^{4} - 2)}^{2}}$