Algebra Beispiele

$8 x^{2} + 5 y^{2} = 40$ , $x = y + 5$

Schritt 1

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $y + 5$ in jeder Gleichung.

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Schritt 1.1

Ersetze alle $x$ in $8 x^{2} + 5 y^{2} = 40$ durch $y + 5$ .

$8 {(y + 5)}^{2} + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache $8 {(y + 5)}^{2} + 5 y^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.1

Schreibe ${(y + 5)}^{2}$ als $(y + 5) (y + 5)$ um.

$8 ((y + 5) (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.2

Multipliziere $(y + 5) (y + 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (y (y + 5) + 5 (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 (y + 5)) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y \cdot y + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$8 (y^{2} + y \cdot 5 + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.3.1.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $y$ .

$8 (y^{2} + 5 \cdot y + 5 y + 5 \cdot 5) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.3.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$8 (y^{2} + 5 y + 5 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y^{2} + 5 y + 5 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.3.2

Addiere $5 y$ und $5 y$ .

$8 (y^{2} + 10 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 (y^{2} + 10 y + 25) + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$8 y^{2} + 8 (10 y) + 8 \cdot 25 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.1.5.1

Mutltipliziere $10$ mit $8$ .

$8 y^{2} + 80 y + 8 \cdot 25 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.1.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $25$ .

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

$8 y^{2} + 80 y + 200 + 5 y^{2} = 40$

$x = y + 5$

Schritt 1.2.1.2

Addiere $8 y^{2}$ und $5 y^{2}$ .

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$

$x = y + 5$

Schritt 2

Löse in $13 y^{2} + 80 y + 200 = 40$ nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$13 y^{2} + 80 y + 200 - 40 = 0$

$x = y + 5$

Schritt 2.1.2

Subtrahiere $40$ von $200$ .

$13 y^{2} + 80 y + 160 = 0$

$x = y + 5$

$13 y^{2} + 80 y + 160 = 0$

$x = y + 5$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = y + 5$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 13$ , $b = 80$ und $c = 160$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 80 \pm \sqrt{80^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 160)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $80$ mit $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 52$ mit $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.3

Subtrahiere $8320$ von $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $- 1920$ als $- 1 (1920)$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1920)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.7

Schreibe $1920$ als $8^{2} \cdot 30$ um.

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Schritt 2.4.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $1920$ heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $80$ mit $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 52$ mit $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.3

Subtrahiere $8320$ von $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $- 1920$ als $- 1 (1920)$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1920)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.7

Schreibe $1920$ als $8^{2} \cdot 30$ um.

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Schritt 2.5.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $1920$ heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- 40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.5

Schreibe $- 40$ als $- 1 (40)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $4 i \sqrt{30}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - (- 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (40) - (- 4 i \sqrt{30})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (40 - 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $80$ mit $2$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 4 \cdot 13 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 13 \cdot 160$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 52 \cdot 160}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 52$ mit $160$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{6400 - 8320}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.3

Subtrahiere $8320$ von $6400$ .

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $- 1920$ als $- 1 (1920)$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1 \cdot 1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (1920)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{1920}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.7

Schreibe $1920$ als $8^{2} \cdot 30$ um.

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Schritt 2.6.1.7.1

Faktorisiere $64$ aus $1920$ heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{64 (30)}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 80 \pm i \cdot (8 \sqrt{30})}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.1.9

Bringe $8$ auf die linke Seite von $i$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{2 \cdot 13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$y = \frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 80 \pm 8 i \sqrt{30}}{26}$ .

$y = \frac{- 40 \pm 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- 40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.5

Schreibe $- 40$ als $- 1 (40)$ um.

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 i \sqrt{30}$ heraus.

$y = \frac{- 1 \cdot 40 - (4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (40) - (4 i \sqrt{30})$ heraus.

$y = \frac{- 1 (40 + 4 i \sqrt{30})}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}, - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}, - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = y + 5$

Schritt 3

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.1

Ersetze alle $y$ in $x = y + 5$ durch $- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$ .

$x = (- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(- \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13} + 5 \cdot \frac{13}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13} + \frac{5 \cdot 13}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 3.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = y + 5$ durch $- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$ .

$x = (- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $(- \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}) + 5$ .

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Schritt 4.2.1.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13} + 5 \cdot \frac{13}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 4.2.1.2

Kombiniere $5$ und $\frac{13}{13}$ .

$x = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13} + \frac{5 \cdot 13}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{25 + 4 i \sqrt{30}}{13}, y = - \frac{40 - 4 i \sqrt{30}}{13}$

$x = \frac{25 - 4 i \sqrt{30}}{13}, y = - \frac{40 + 4 i \sqrt{30}}{13}$

Schritt 6