Algebra Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14}{5} x + \frac{17}{53}$

Schritt 1.1.2

Kombiniere $\frac{14}{5}$ und $x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{14 x}{5} + \frac{17}{53}$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = \frac{14}{5}$

$c = \frac{17}{53}$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{14}{5}}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{14}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $14$ heraus.

$d = \frac{2 (7)}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 7}{5} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{7}{5} \cdot \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{7}{5}$ mit $\frac{1}{- \frac{1}{2}}$ .

$d = \frac{7}{5 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$d = \frac{7}{- 5 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.5

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 5}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = 7 (\frac{2}{- 5})$

Schritt 1.2.3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = 7 (- \frac{2}{5})$

Schritt 1.2.3.2.8

Multipliziere $7 (- \frac{2}{5})$ .

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Schritt 1.2.3.2.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$d = - 7 (\frac{2}{5})$

Schritt 1.2.3.2.8.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{2}{5}$ .

$d = \frac{- 7 \cdot 2}{5}$

Schritt 1.2.3.2.8.3

Mutltipliziere $- 7$ mit $2$ .

$d = \frac{- 14}{5}$

Schritt 1.2.3.2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{14}{5}$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{17}{53} - \frac{{(\frac{14}{5})}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{14}{5}$ an.

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{14^{2}}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $14$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{5^{2}}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{\frac{196}{25}}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{196}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $196$ heraus.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 (98)}{25} \cdot \frac{1}{- 2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{2 \cdot 98}{25} \cdot \frac{1}{2 \cdot - 1})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.4

Forme den Ausdruck um.

$e = \frac{17}{53} - (\frac{98}{25} \cdot \frac{1}{- 1})$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Mutltipliziere $\frac{98}{25}$ mit $\frac{1}{- 1}$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{25 \cdot - 1}$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Mutltipliziere $25$ mit $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} - \frac{98}{- 25}$

Schritt 1.2.4.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = \frac{17}{53} - - \frac{98}{25}$

Schritt 1.2.4.2.1.9

Multipliziere $- - \frac{98}{25}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = \frac{17}{53} + 1 (\frac{98}{25})$

Schritt 1.2.4.2.1.9.2

Mutltipliziere $\frac{98}{25}$ mit $1$ .

$e = \frac{17}{53} + \frac{98}{25}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $\frac{17}{53}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25}$

Schritt 1.2.4.2.3

Um $\frac{98}{25}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17}{53} \cdot \frac{25}{25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Schritt 1.2.4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $1325$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{17}{53}$ mit $\frac{25}{25}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{53 \cdot 25} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Schritt 1.2.4.2.4.2

Mutltipliziere $53$ mit $25$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98}{25} \cdot \frac{53}{53}$

Schritt 1.2.4.2.4.3

Mutltipliziere $\frac{98}{25}$ mit $\frac{53}{53}$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{25 \cdot 53}$

Schritt 1.2.4.2.4.4

Mutltipliziere $25$ mit $53$ .

$e = \frac{17 \cdot 25}{1325} + \frac{98 \cdot 53}{1325}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{17 \cdot 25 + 98 \cdot 53}{1325}$

Schritt 1.2.4.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.6.1

Mutltipliziere $17$ mit $25$ .

$e = \frac{425 + 98 \cdot 53}{1325}$

Schritt 1.2.4.2.6.2

Mutltipliziere $98$ mit $53$ .

$e = \frac{425 + 5194}{1325}$

Schritt 1.2.4.2.6.3

Addiere $425$ und $5194$ .

$e = \frac{5619}{1325}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - \frac{14}{5})}^{2} + \frac{5619}{1325}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = \frac{14}{5}$

$k = \frac{5619}{1325}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{14}{5}, \frac{5619}{1325})$

Schritt 4

Berechne $p$ , den Abstand vom Scheitelpunkt zum Brennpunkt.

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Schritt 4.1

Ermittle den Abstand vom Scheitelpunkt zu einem Brennpunkt der Parabel durch Anwendung der folgenden Formel.

$\frac{1}{4 a}$

Schritt 4.2

Setze den Wert von $a$ in die Formel ein.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 4.3.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Schritt 4.3.3

Dividiere $4$ durch $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 5

Finde die Leitlinie.

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Schritt 5.1

Die Leitlinie einer Parabel ist die horizontale Gerade, die durch Subtrahieren von $p$ von der y-Koordinate $k$ des Scheitelpunkts ermittelt wird, wenn die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist.

$y = k - p$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte von $p$ und $k$ in die Formel ein und vereinfache.

$y = \frac{12563}{2650}$

Schritt 6