Algebra Beispiele

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{3^{2}} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

${(y - 2)}^{2} - \frac{{(x - 4)}^{2}}{9} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 1$

$b = 3$

$k = 2$

$h = 4$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , da diese Hyperbel nach oben und unten offen ist.

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 5.2.1.4

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 4$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4}{3} + 2$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2$

Schritt 5.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 4 + 6}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $- 4$ und $6$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{1}{3} \cdot (x - (4)) + 2$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$y = - \frac{1}{3} \cdot (x - 4) + 2$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{3} x - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 4 + 2$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $- \frac{1}{3} \cdot - 4$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x}{3} + 4 (\frac{1}{3}) + 2$

Schritt 6.2.1.4.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2$

Schritt 6.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 2 \cdot 3}{3}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{4 + 6}{3}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $4$ und $6$ .

$y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}$ und $y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$ .

Asymptoten: $y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3}, y = - \frac{x}{3} + \frac{10}{3}$

Schritt 9