Algebra Beispiele

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term in der Gleichung, um die rechte Seite gleich $1$ zu setzen. Die Standardform einer Ellipse oder Hyperbel erfordert es, dass die rechte Seite der Gleichung gleich $1$ ist.

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Schritt 2

Dies ist die Form einer Hyperbel. Wende diese Form an, um die Werte zu ermitteln, die benutzt werden, um die Asymptoten einer Hyperbel zu bestimmen.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Schritt 3

Gleiche die Werte in dieser Hyperbel mit denen der Standardform ab. Die Variable $h$ stellt das x-Offset vom Ursprung dar, $k$ das y-Offset vom Ursprung, $a$ .

$a = 7$

$b = 4$

$k = - 2$

$h = 3$

Schritt 4

Die Asymptoten folgen der Form $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , da diese Hyperbel sich nach links und rechts öffnet.

$y = \pm \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 5

Vereinfache, um die erste Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 5.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 5.2

Vereinfache $\frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \frac{4}{7} \cdot (x - 3) - 2$

Schritt 5.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Schritt 5.2.1.3

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $x$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Schritt 5.2.1.4

Multipliziere $\frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Schritt 5.2.1.4.1

Kombiniere $\frac{4}{7}$ und $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7} - 2$

Schritt 5.2.1.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 3$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7} - 2$

Schritt 5.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} - 2$

Schritt 5.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 - 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 - 14}{7}$

Schritt 5.2.5.2

Subtrahiere $14$ von $- 12$ .

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 26}{7}$

Schritt 5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}$

Schritt 6

Vereinfache, um die zweite Asymptote zu ermitteln.

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Schritt 6.1

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$

Schritt 6.2

Vereinfache $- \frac{4}{7} \cdot (x - (3)) - 2$ .

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \frac{4}{7} \cdot (x - 3) - 2$

Schritt 6.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{4}{7} x - \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Schritt 6.2.1.3

Kombiniere $x$ und $\frac{4}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} - \frac{4}{7} \cdot - 3 - 2$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $- \frac{4}{7} \cdot - 3$ .

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Schritt 6.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + 3 (\frac{4}{7}) - 2$

Schritt 6.2.1.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{4}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + \frac{3 \cdot 4}{7} - 2$

Schritt 6.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{7} + \frac{12}{7} - 2$

Schritt 6.2.1.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} - 2$

Schritt 6.2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 6.2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12 - 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{12 - 14}{7}$

Schritt 6.2.5.2

Subtrahiere $14$ von $12$ .

$y = - \frac{4 x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Schritt 6.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Schritt 7

Diese Hyperbel hat zwei Asymptoten.

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}, y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Schritt 8

Die Asymptoten sind $y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}$ und $y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$ .

Asymptoten: $y = \frac{4 x}{7} - \frac{26}{7}, y = - \frac{4 x}{7} - \frac{2}{7}$

Schritt 9