Algebra Beispiele

$y = \cos^{-1} (8 x^{5})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\cos^{-1} (8 x^{5}))$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos^{-1} (y)$ und $g (y) = 8 x^{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $8 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos^{-1} (u_{1})] \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\cos^{-1} (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $8 x^{5}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $8$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - {(8 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $8 (x^{5})$ an.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (8^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - (64 x^{10})}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $64$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [8 x^{5}]$

Schritt 3.2.3

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{5}$ nach $y$ gleich $8 \frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (8 \frac{d}{d y} [x^{5}])$

Schritt 3.2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Schritt 3.2.4.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Schritt 3.2.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x^{5}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{5}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$- \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (5 x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 \frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{- 5 \cdot 8}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} (x^{4} \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $x^{4}$ und $\frac{- 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$\frac{x^{4} \cdot - 40}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.5.1

Bringe $- 40$ auf die linke Seite von $x^{4}$ .

$\frac{- 40 \cdot x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.4.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} \frac{d}{d y} [x]$

Schritt 3.5

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$- \frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} x'$

Schritt 3.6

Kombiniere $x'$ und $\frac{40 x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ .

$- \frac{x' (40 x^{4})}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Schritt 3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{40 x' x^{4}}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Schritt 3.7.2

Stelle die Faktoren in $40 x' x^{4}$ um.

$- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ um.

$- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.1.2

Dividiere $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}}$ durch $1$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1 - 64 x^{10}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1^{2} - 64 x^{10}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.2

Schreibe $64 x^{10}$ als ${(8 x^{5})}^{2}$ um.

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{1^{2} - {(8 x^{5})}^{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = 8 x^{5}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - (8 x^{5}))}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.2.4

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{40 x^{4} x'}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.2

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.3

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ als $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ um.

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Schritt 5.2.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ als ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{{((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.2.4.6.5

Vereinfache.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1$

Schritt 5.3

Multipliziere beide Seiten mit $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})) = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Schritt 5.4

Vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ .

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Schritt 5.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})) = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Vereinfache $- ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Multipliziere $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 (1 - 8 x^{5}) + 8 x^{5} (1 - 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 \cdot 1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} (1 - 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 \cdot 1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 + 1 (- 8 x^{5}) + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 8 x^{5}$ mit $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} \cdot 1 + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 x^{5} (- 8 x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{5} x^{5})$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5

Multipliziere $x^{5}$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.4.2.1.2.1.5.1

Bewege $x^{5}$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 (x^{5} x^{5}))$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{5 + 5})$

Schritt 5.4.2.1.2.1.5.3

Addiere $5$ und $5$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} + 8 \cdot - 8 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.2.1.6

Mutltipliziere $8$ mit $- 8$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 8 x^{5} + 8 x^{5} - 64 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.2.2

Addiere $- 8 x^{5}$ und $8 x^{5}$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 + 0 - 64 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - (1 - 64 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 \cdot 1 - (- 64 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 - (- 64 x^{10})$

Schritt 5.4.2.1.4.2

Mutltipliziere $- 64$ mit $- 1$ .

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = - 1 + 64 x^{10}$

Schritt 5.4.2.1.4.3

Stelle $- 1$ und $64 x^{10}$ um.

$40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$ durch $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} = 64 x^{10} - 1$ durch $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$\frac{40 x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{4} x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4}$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 5.5.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{64 x^{10}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $64$ und $40$ .

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Schritt 5.5.3.1.1.1

Faktorisiere $8$ aus $64 x^{10}$ heraus.

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $8$ aus $40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ heraus.

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{8 (5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{8 (8 x^{10})}{8 (5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{10}}{5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{10}$ und $x^{4}$ .

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $8 x^{10}$ heraus.

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x^{4}$ aus $5 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ heraus.

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{x^{4} (5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x^{4} (8 x^{6})}{x^{4} (5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{8 x^{6}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.2

Bewege $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.3

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.4

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1})} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7

Schreibe ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ als $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ um.

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Schritt 5.5.3.1.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ als ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.4.7.5

Vereinfache.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))} + \frac{- 1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - (\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}})$

Schritt 5.5.3.1.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.3.1.7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ mit $\frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}$

Schritt 5.5.3.1.7.2

Bewege $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})}$

Schritt 5.5.3.1.7.3

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})})}$

Schritt 5.5.3.1.7.4

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ({\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1})}$

Schritt 5.5.3.1.7.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.3.1.7.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7

Schreibe ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ als $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ um.

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Schritt 5.5.3.1.7.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ als ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.7.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}}$

Schritt 5.5.3.1.7.7.5

Vereinfache.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}$

Schritt 5.5.3.1.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.5.3.1.8.1

Forme um.

Schritt 5.5.3.1.8.2

Bewege $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

Schritt 5.5.3.1.8.3

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

Schritt 5.5.3.1.8.4

Potenziere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $1$ .

Schritt 5.5.3.1.8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.5.3.1.8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7

Schreibe ${\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}^{2}$ als $(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})$ um.

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Schritt 5.5.3.1.8.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ als ${((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {({((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} {((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}^{1}}$

Schritt 5.5.3.1.8.7.5

Vereinfache.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} ((1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}))}$

Schritt 5.5.3.1.8.8

Entferne unnötige Klammern.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.2

Um $\frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8 x^{4}}{8 x^{4}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot \frac{8 x^{4}}{8 x^{4}} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ mit $\frac{8 x^{4}}{8 x^{4}}$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{5 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) (8 x^{4})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.3.3

Stelle die Faktoren von $40 (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5}) x^{4}$ um.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4}) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.5.3.5.1

Faktorisiere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ aus $8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4}) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ heraus.

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Schritt 5.5.3.5.1.1

Faktorisiere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ aus $8 x^{6} \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{4})$ heraus.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) - \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.1.2

Faktorisiere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ aus $- \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ heraus.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) + \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot - 1}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.1.3

Faktorisiere $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ aus $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4})) + \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot - 1$ heraus.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{6} (8 x^{4}) - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.2

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{6} x^{4} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.3

Multipliziere $x^{6}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.5.3.5.3.1

Bewege $x^{4}$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 (x^{4} x^{6}) - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{4 + 6} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.3.3

Addiere $4$ und $6$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (64 x^{10} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.4

Schreibe $64 x^{10}$ als ${(8 x^{5})}^{2}$ um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ({(8 x^{5})}^{2} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.5

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} ({(8 x^{5})}^{2} - 1^{2})}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.5.6

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 8 x^{5}$ und $b = 1$ .

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x^{5} + 1$ und $1 + 8 x^{5}$ .

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Schritt 5.5.3.6.1.1

Stelle die Terme um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (8 x^{5} + 1) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} + 1) (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (8 x^{5} + 1) (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.1.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (8 x^{5} - 1)}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 x^{5} - 1$ und $1 - 8 x^{5}$ .

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Schritt 5.5.3.6.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5}) - 1)}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.2.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5}) - 1 (1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 8 x^{5}) - 1 (1)$ heraus.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.2.4

Schreibe $- (- 8 x^{5} + 1)$ als $- 1 (- 8 x^{5} + 1)$ um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (1 - 8 x^{5})}$

Schritt 5.5.3.6.2.5

Stelle die Terme um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (- 8 x^{5} + 1)}$

Schritt 5.5.3.6.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} (- 1 (- 8 x^{5} + 1))}{40 x^{4} (- 8 x^{5} + 1)}$

Schritt 5.5.3.6.2.7

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})} \cdot (- 1)}{40 x^{4}}$

Schritt 5.5.3.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.5.3.6.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}$ .

$x' = \frac{- 1 \cdot \sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$

Schritt 5.5.3.6.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\sqrt{(1 + 8 x^{5}) (1 - 8 x^{5})}}{40 x^{4}}$