Algebra Beispiele

$x^{4} + x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 18$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{3} + 9 x + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 9 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 9 x + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $9 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 9 + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 9$ heraus.

$x (x^{2} + 9) + x^{4} + 7 x^{2} - 18$

Schritt 3

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$x (x^{2} + 9) + {(x^{2})}^{2} + 7 x^{2} - 18$

Schritt 4

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 9) + u^{2} + 7 u - 18$

Schritt 5

Faktorisiere $u^{2} + 7 u - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $7$ ist.

$- 2, 9$

Schritt 5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$x (x^{2} + 9) + (u - 2) (u + 9)$

Schritt 6

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $x (x^{2} + 9) + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $x (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) x + (x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} - 2) (x^{2} + 9)$ heraus.

$(x^{2} + 9) x + (x^{2} + 9) (x^{2} - 2)$

Schritt 7.3

Faktorisiere $x^{2} + 9$ aus $(x^{2} + 9) x + (x^{2} + 9) (x^{2} - 2)$ heraus.

$(x^{2} + 9) (x + x^{2} - 2)$

Schritt 8

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$(x^{2} + 9) (u + u^{2} - 2)$

Schritt 9

Faktorisiere $u + u^{2} - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 9.1

Betrachte die Form $x^{2} + i x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $i$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 9.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x^{2} + 9) ((u - 1) (u + 2))$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(x^{2} + 9) ((x - 1) (x + 2))$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x^{2} + 9) (x - 1) (x + 2)$

Schritt 11

Multipliziere die Konstante im Polynom $x^{2} + 9$ mit $- i^{2}$ , wobei $i^{2}$ gleich $- 1$ ist.

$(x^{2} - 9 i^{2}) (x - 1) (x + 2)$

Schritt 12

Schreibe $9 i^{2}$ als ${(3 i)}^{2}$ um.

$(x^{2} - {(3 i)}^{2}) (x - 1) (x + 2)$

Schritt 13

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - i^{2} = (a + i) (a - i)$ , mit $a = x$ und $i = 3 i$ .

$(x + 3 i) (x - (3 i)) (x - 1) (x + 2)$

Schritt 14

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(x + 3 i) (x - 3 i) (x - 1) (x + 2)$