Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{1}{9} x^{2} + 2$ , $x \geq 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[2, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[2, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 2$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{9} y^{2} + 2$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$ um.

$\frac{1}{9} y^{2} + 2 = x$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{9}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{9} + 2 = x$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{9} = x - 2$

Schritt 2.2.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $9$ .

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Schritt 2.2.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 2.2.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \frac{y^{2}}{9} = 9 (x - 2)$

Schritt 2.2.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 9 (x - 2)$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.5.2.1

Vereinfache $9 (x - 2)$ .

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Schritt 2.2.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 9 x + 9 \cdot - 2$

Schritt 2.2.5.2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 2$ .

$y^{2} = 9 x - 18$

Schritt 2.2.6

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{9 x - 18}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache $\pm \sqrt{9 x - 18}$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x - 18$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1.1

Faktorisiere $9$ aus $9 x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 (x) - 18}$

Schritt 2.2.7.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 18$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 x + 9 \cdot - 2}$

Schritt 2.2.7.1.3

Faktorisiere $9$ aus $9 x + 9 \cdot - 2$ heraus.

$y = \pm \sqrt{9 (x - 2)}$

Schritt 2.2.7.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$y = \pm \sqrt{3^{2} (x - 2)}$

Schritt 2.2.7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \pm 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 2.2.8

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.8.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 2.2.8.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 2.2.8.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

$y = 3 \sqrt{x - 2}$

$y = - 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, - 3 \sqrt{x - 2}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = 3 \sqrt{x - 2}, x \geq 2$

Schritt 4