Algebra Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} + 5$ , $x \geq 0$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[5, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[5, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq 5$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 y^{2} + 5$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 y^{2} + 5 = x$ um.

$3 y^{2} + 5 = x$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} = x - 5$

Schritt 2.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = x - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} = x - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.2.3.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{3} + \frac{- 5}{3}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Schritt 2.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{x}{3} - \frac{5}{3}}$ .

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Schritt 2.2.5.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 5}{3}}$

Schritt 2.2.5.2

Schreibe $\sqrt{\frac{x - 5}{3}}$ als $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x - 5}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 2.2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 5} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.2.5.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$

Schritt 2.2.5.6

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x - 5) \cdot 3}}{3}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Schritt 2.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Schritt 2.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Schritt 2.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, - \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{3 (x - 5)}}{3}, x \geq 5$

Schritt 4