Algebra Beispiele

$3 \sqrt{7 x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = 3 \sqrt{7 y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $3 \sqrt{7 y} = x$ um.

$3 \sqrt{7 y} = x$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{7 y} = x$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 \sqrt{7 y} = x$ durch $3$ .

$\frac{3 \sqrt{7 y}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \sqrt{7 y}}{3} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $\sqrt{7 y}$ durch $1$ .

$\sqrt{7 y} = \frac{x}{3}$

Schritt 2.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{7 y}}^{2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 y}$ als ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Vereinfache ${({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(7 y)}^{1} = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Vereinfache.

$7 y = {(\frac{x}{3})}^{2}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1

Vereinfache ${(\frac{x}{3})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{3}$ an.

$7 y = \frac{x^{2}}{3^{2}}$

Schritt 2.4.3.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$7 y = \frac{x^{2}}{9}$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $7 y = \frac{x^{2}}{9}$ durch $7$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = \frac{x^{2}}{9}$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{\frac{x^{2}}{9}}{7}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{\frac{x^{2}}{9}}{7}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{9}}{7}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{1}{7}$

Schritt 2.5.3.2

Kombinieren.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{9 \cdot 7}$

Schritt 2.5.3.3

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.3.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9 \cdot 7}$

Schritt 2.5.3.3.2

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$y = \frac{x^{2}}{63}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{63}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{63}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 \sqrt{7 x}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 \sqrt{7 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{{(3 \sqrt{7 x})}^{2}}{63}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.1

Wende die Produktregel auf $3 \sqrt{7 x}$ an.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{3^{2} {\sqrt{7 x}}^{2}}{63}$

Schritt 4.2.3.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 {\sqrt{7 x}}^{2}}{63}$

Schritt 4.2.3.3

Schreibe ${\sqrt{7 x}}^{2}$ als $7 x$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x}$ als ${(7 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 {({(7 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{63}$

Schritt 4.2.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 {(7 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{63}$

Schritt 4.2.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 {(7 x)}^{\frac{2}{2}}}{63}$

Schritt 4.2.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 {(7 x)}^{\frac{2}{2}}}{63}$

Schritt 4.2.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 (7 x)}{63}$

Schritt 4.2.3.3.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 (7 x)}{63}$

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{9 \cdot (7 x)}{63}$

Schritt 4.2.3.4

Mutltipliziere $9$ mit $7$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{63 x}{63}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $63$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = \frac{63 x}{63}$

Schritt 4.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (3 \sqrt{7 x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{63})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{63})}$

Schritt 4.3.3

Kombiniere $7$ und $\frac{x^{2}}{63}$ .

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{7 x^{2}}{63}}$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck $\frac{7 x^{2}}{63}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x^{2}$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{7 (x^{2})}{63}}$

Schritt 4.3.4.2

Faktorisiere $7$ aus $63$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{7 x^{2}}{7 \cdot 9}}$

Schritt 4.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{7 x^{2}}{7 \cdot 9}}$

Schritt 4.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

Schritt 4.3.5

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 4.3.6

Schreibe $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ als ${(\frac{x}{3})}^{2}$ um.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

Schritt 4.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = 3 (\frac{x}{3})$

Schritt 4.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{63}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{63}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 \sqrt{7 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{63}$