Algebra Beispiele

$- 2 x^{3} - 6$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = - 2 y^{3} - 6$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 y^{3} - 6 = x$ um.

$- 2 y^{3} - 6 = x$

Schritt 2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y^{3} = x + 6$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{3} = x + 6$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 y^{3} = x + 6$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{6}{- 2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 y^{3}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{6}{- 2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{- 2} + \frac{6}{- 2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{2} + \frac{6}{- 2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Dividiere $6$ durch $- 2$ .

$y^{3} = - \frac{x}{2} - 3$

Schritt 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{2} - 3}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{2} - 3}$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{2} - 3$ heraus.

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Schritt 2.5.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{x}{2}$ heraus.

$y = \sqrt[3]{- (\frac{x}{2}) - 3}$

Schritt 2.5.1.2

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$y = \sqrt[3]{- (\frac{x}{2}) - 1 (3)}$

Schritt 2.5.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{x}{2}) - 1 (3)$ heraus.

$y = \sqrt[3]{- (\frac{x}{2} + 3)}$

Schritt 2.5.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\frac{x}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2})}$

Schritt 2.5.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- (\frac{x}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2})}$

Schritt 2.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x + 3 \cdot 2}{2}}$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2.5.6

Schreibe $- \frac{x + 6}{2}$ als ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x + 6}{2}$ um.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2.5.6.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{3}$ um.

$y = \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2.5.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = {(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2.5.8

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$y = - \sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$

Schritt 2.5.9

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{x + 6}{2}}$ als $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$

Schritt 2.5.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = - (\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}})$

Schritt 2.5.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{x + 6}}{\sqrt[3]{2}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.5.11.2

Potenziere $\sqrt[3]{2}$ mit $1$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Schritt 2.5.11.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.5.11.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Schritt 2.5.11.5

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ als $2$ um.

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Schritt 2.5.11.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{2}$ als $2^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.5.11.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.5.11.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.11.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.11.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.5.11.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Schritt 2.5.11.5.5

Berechne den Exponenten.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Schritt 2.5.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.12.1

Schreibe ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ als $\sqrt[3]{2^{2}}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Schritt 2.5.12.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = - \frac{\sqrt[3]{x + 6} \sqrt[3]{4}}{2}$

Schritt 2.5.13

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.13.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = - \frac{\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}{2}$

Schritt 2.5.13.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{\sqrt[3]{(x + 6) \cdot 4}}{2}$ um.

$y = - \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$

Schritt 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = - 2 x^{3} - 6$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{\sqrt[3]{4 ((- 2 x^{3} - 6) + 6)}}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{\sqrt[3]{4 (- 2 x^{3} + 0)}}{2}$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $- 2 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (- 2 x^{3})}}{2}$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{\sqrt[3]{- 8 x^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.4

Schreibe $- 8 x^{3}$ als ${(- 2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{\sqrt[3]{{(- 2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 4.2.3.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{- 2 x}{2}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{2 (- x)}{2}$

Schritt 4.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Schritt 4.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = - \frac{- x}{1}$

Schritt 4.2.4.2.4

Dividiere $- x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (- 2 x^{3} - 6) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 {(- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2})}^{3} - 6$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.3.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2})}^{3}) - 6$

Schritt 4.3.3.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}^{3}}{2^{3}})) - 6$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}^{3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.3.3.1

Schreibe ${\sqrt[3]{4 (x + 6)}}^{3}$ als $4 (x + 6)$ um.

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Schritt 4.3.3.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 (x + 6)}$ als ${(4 (x + 6))}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{{({(4 (x + 6))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 (x + 6))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 (x + 6))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.3.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{{(4 (x + 6))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 (x + 6)}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.1.5

Vereinfache.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 (x + 6)}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x + 4 \cdot 6}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x + 24}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.4

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 24$ heraus.

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Schritt 4.3.3.3.4.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 (x) + 24}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.4.2

Faktorisiere $4$ aus $24$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 x + 4 \cdot 6}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.3.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot 6$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 (x + 6)}{2^{3}}) - 6$

Schritt 4.3.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 (- \frac{4 (x + 6)}{8}) - 6$

Schritt 4.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4 (x + 6)}{8}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 2 \frac{- 4 (x + 6)}{8} - 6$

Schritt 4.3.3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = 2 (- 1) (\frac{- 4 (x + 6)}{8}) - 6$

Schritt 4.3.3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 (x + 6)}{2 \cdot 4}) - 6$

Schritt 4.3.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = 2 \cdot (- 1 \frac{- 4 (x + 6)}{2 \cdot 4}) - 6$

Schritt 4.3.3.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 \frac{- 4 (x + 6)}{4} - 6$

Schritt 4.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $4$ .

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Schritt 4.3.3.6.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4 (x + 6)$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- (x + 6))}{4} - 6$

Schritt 4.3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.3.6.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- (x + 6))}{4 (1)} - 6$

Schritt 4.3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 \frac{4 (- (x + 6))}{4 \cdot 1} - 6$

Schritt 4.3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 \frac{- (x + 6)}{1} - 6$

Schritt 4.3.3.6.2.4

Dividiere $- (x + 6)$ durch $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 (- (x + 6)) - 6$

Schritt 4.3.3.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 (- x - 1 \cdot 6) - 6$

Schritt 4.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 (- x - 6) - 6$

Schritt 4.3.3.9

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = - 1 (- x) - 1 \cdot - 6 - 6$

Schritt 4.3.3.10

Multipliziere $- 1 (- x)$ .

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Schritt 4.3.3.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = 1 x - 1 \cdot - 6 - 6$

Schritt 4.3.3.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = x - 1 \cdot - 6 - 6$

Schritt 4.3.3.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = x + 6 - 6$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 6 - 6$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = x + 0$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = - 2 x^{3} - 6$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\sqrt[3]{4 (x + 6)}}{2}$