Algebra Beispiele

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $x \leq 1$

Schritt 1

Ermittele den Wertebereich der gegebenen Funktion.

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Schritt 1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

$[- 1, \infty)$

Schritt 1.2

Wandle $[- 1, \infty)$ in eine Ungleichung um.

$y \geq - 1$

Schritt 2

Ermittle die Umkehrfunktion.

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Schritt 2.1

Vertausche die Variablen.

$x = y^{2} - 2 y$

Schritt 2.2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.2.1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} - 2 y = x$ um.

$y^{2} - 2 y = x$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} - 2 y - x = 0$

Schritt 2.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.5.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.2.5.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 2.2.5.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 2.2.5.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.2.6.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 2.2.6.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 2.2.6.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 + 4 x$ heraus.

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Schritt 2.2.7.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 \cdot 1 + 4 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 1 + 4 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4

Schreibe $4 (1 + x)$ als $2^{2} (1^{2} + x)$ um.

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Schritt 2.2.7.1.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.1.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$

Schritt 2.2.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + x}$

Schritt 2.3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 1 + \sqrt{1 + x}, 1 - \sqrt{1 + x}$

Schritt 3

Ermittele die Inverse mithilfe des Definitions- und Wertebereichs der ursprünglichen Funktion.

$f^{- 1} (x) = 1 - \sqrt{1 + x}, x \geq - 1$

Schritt 4