Algebra Beispiele

$f (x) = 9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4$

Schritt 1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Schritt 2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm \frac{4}{9}$

Schritt 3

Setze die möglichen Wurzeln eine nach der anderen in das Polynom ein, um die tatsächlichen Wurzeln zu ermitteln. Vereinfache, um zu prüfen, ob der Wert gleich $0$ ist, was bedeutet, dass er eine Wurzel ist.

$9 {(- 1)}^{3} + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $x = - 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$9 \cdot - 1 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$- 9 + 9 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 4$

Schritt 4.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 9 + 9 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 4$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$- 9 + 9 - 4 \cdot - 1 - 4$

Schritt 4.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$- 9 + 9 + 4 - 4$

Schritt 4.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$0 + 4 - 4$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $4$ .

$4 - 4$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0$

Schritt 5

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, teile das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu ermitteln. Dieses Polynom kann dann benutzt werden, um die verbleibenden Wurzeln zu finden.

$\frac{9 x^{3} + 9 x^{2} - 4 x - 4}{x + 1}$

Schritt 6

Als Nächstes bestimme die Wurzeln des verbleibenden Polynoms. Der Grad des Polynoms ist um $1$ reduziert worden.

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(9)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$

	$9$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(9)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(9)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$
	$9$	$0$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$
	$9$	$0$	$- 4$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$9$	$9$	$- 4$	$- 4$
		$- 9$	$0$	$4$
	$9$	$0$	$- 4$	$0$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$9 x^{2} + 0 x - 4$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$9 x^{2} - 4$

Schritt 7

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 4$

Schritt 8

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) {(3 x)}^{2} - 2^{2}$

Schritt 9

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2)$

Schritt 10

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 10.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(9 x^{3} + 9 x^{2}) - 4 x - 4 = 0$

Schritt 10.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$9 x^{2} (x + 1) - 4 (x + 1) = 0$

Schritt 10.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$(x + 1) (9 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 10.3

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 4) = 0$

Schritt 10.4

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x + 1) ({(3 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 10.5

Faktorisiere.

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Schritt 10.5.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 3 x$ und $b = 2$ .

$(x + 1) ((3 x + 2) (3 x - 2)) = 0$

Schritt 10.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$

Schritt 11

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$3 x + 2 = 0$

$3 x - 2 = 0$

Schritt 12

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 12.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 13

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 13.1

Setze $3 x + 2$ gleich $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Schritt 13.2

Löse $3 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 13.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = - 2$

Schritt 13.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 13.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 13.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 13.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Schritt 13.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Schritt 13.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 13.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{3}$

Schritt 14

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 14.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 14.2

Löse $3 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 14.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 14.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 14.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 14.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 14.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 14.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 14.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 15

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 1) (3 x + 2) (3 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, - \frac{2}{3}, \frac{2}{3}$

Schritt 16