Algebra Beispiele

$8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$

Schritt 1

Da die Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass sie sich auf der linken Seite der Gleichung befindet.

$\sqrt{16 x + 9} = 8 x^{2} - 3$

Schritt 2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{16 x + 9}}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{16 x + 9}$ als ${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(16 x + 9)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(16 x + 9)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(16 x + 9)}^{1} = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Vereinfache.

$16 x + 9 = {(8 x^{2} - 3)}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1

Schreibe ${(8 x^{2} - 3)}^{2}$ als $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ um.

$16 x + 9 = (8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $(8 x^{2} - 3) (8 x^{2} - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2} - 3) - 3 (8 x^{2} - 3)$

Schritt 3.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2} - 3)$

Schritt 3.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x + 9 = 8 x^{2} (8 x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2} x^{2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 (x^{2} x^{2}) + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{2 + 2} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$16 x + 9 = 8 \cdot 8 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} + 8 x^{2} \cdot - 3 - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 3 (8 x^{2}) - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} - 3 \cdot - 3$

Schritt 3.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 24 x^{2} - 24 x^{2} + 9$

Schritt 3.3.1.3.2

Subtrahiere $24 x^{2}$ von $- 24 x^{2}$ .

$16 x + 9 = 64 x^{4} - 48 x^{2} + 9$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 = 16 x + 9$

Schritt 4.2

Subtrahiere $16 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x = 9$

Schritt 4.3

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9 = 0$

Schritt 4.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $64 x^{4} - 48 x^{2} + 9 - 16 x - 9$ .

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Schritt 4.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x + 0 = 0$

Schritt 4.4.2

Addiere $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ und $0$ .

$64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Schritt 4.5

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $16 x$ aus $64 x^{4} - 48 x^{2} - 16 x$ heraus.

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Schritt 4.5.1.1

Faktorisiere $16 x$ aus $64 x^{4}$ heraus.

$16 x (4 x^{3}) - 48 x^{2} - 16 x = 0$

Schritt 4.5.1.2

Faktorisiere $16 x$ aus $- 48 x^{2}$ heraus.

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) - 16 x = 0$

Schritt 4.5.1.3

Faktorisiere $16 x$ aus $- 16 x$ heraus.

$16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Schritt 4.5.1.4

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (4 x^{3}) + 16 x (- 3 x)$ heraus.

$16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1) = 0$

Schritt 4.5.1.5

Faktorisiere $16 x$ aus $16 x (4 x^{3} - 3 x) + 16 x (- 1)$ heraus.

$16 x (4 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Schritt 4.5.2

Faktorisiere $4 x^{3} - 3 x - 1$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 4.5.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Schritt 4.5.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Schritt 4.5.2.3

Setze $- 0.5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 4.5.2.3.1

Setze $- 0.5$ in das Polynom ein.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Schritt 4.5.2.3.2

Potenziere $- 0.5$ mit $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Schritt 4.5.2.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 0.125$ .

$- 0.5 - 3 \cdot - 0.5 - 1$

Schritt 4.5.2.3.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 0.5$ .

$- 0.5 + 1.5 - 1$

Schritt 4.5.2.3.5

Addiere $- 0.5$ und $1.5$ .

$1 - 1$

Schritt 4.5.2.3.6

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0$

Schritt 4.5.2.4

Da $- 0.5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $2 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{4 x^{3} - 3 x - 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.5.2.5

Dividiere $4 x^{3} - 3 x - 1$ durch $2 x + 1$ .

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Schritt 4.5.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Schritt 4.5.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Schritt 4.5.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 4.5.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 4.5.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Schritt 4.5.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 4.5.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 4.5.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$x$

Schritt 4.5.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$

Schritt 4.5.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Schritt 4.5.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	-	$x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Schritt 4.5.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$

Schritt 4.5.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							-	$2 x$	-	$1$

Schritt 4.5.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$

Schritt 4.5.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$1$
							+	$2 x$	+	$1$
										$0$

Schritt 4.5.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} - x - 1$

Schritt 4.5.2.6

Schreibe $4 x^{3} - 3 x - 1$ als eine Menge von Faktoren.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.3.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.5.3.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

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Schritt 4.5.3.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} - (x) - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $1$ plus $- 2$

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + (1 - 2) x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + 1 x - 2 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.1.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x^{2} + x - 2 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.5.3.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$16 x ((2 x + 1) ((2 x^{2} + x) - 2 x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.3.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$16 x ((2 x + 1) (x (2 x + 1) - (2 x + 1))) = 0$

Schritt 4.5.3.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 1$ .

$16 x ((2 x + 1) ((2 x + 1) (x - 1))) = 0$

Schritt 4.5.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.4

Faktorisiere.

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Schritt 4.5.4.1

Fasse gleichartig Faktoren zusammen.

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Schritt 4.5.4.1.1

Potenziere $2 x + 1$ mit $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.4.1.2

Potenziere $2 x + 1$ mit $1$ .

$16 x ((2 x + 1) (2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.4.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16 x ({(2 x + 1)}^{1 + 1} (x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.4.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$16 x ({(2 x + 1)}^{2} (x - 1)) = 0$

Schritt 4.5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$

Schritt 4.6

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 4.7

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 4.8

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.1

Setze ${(2 x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 4.8.2

Löse ${(2 x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.2.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 4.8.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.8.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 4.8.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.8.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.8.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.8.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.8.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 4.8.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.8.2.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 4.9

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.9.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 4.9.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 4.10

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $16 x {(2 x + 1)}^{2} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{1}{2}, 1$

Schritt 5

Schließe die Lösungen aus, die $8 x^{2} - 3 = \sqrt{16 x + 9}$ nicht erfüllen.

$x = 1$