Algebra Beispiele

$12 x^{2} + 12 y^{2} - 84 y + 147 = 0$

Schritt 1

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2

Setze die Werte $a = 12$ , $b = - 84$ und $c = 12 x^{2} + 147$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{84 \pm \sqrt{{(- 84)}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot (12 x^{2} + 147))}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.1.1

Potenziere $- 84$ mit $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.6

Subtrahiere $7056$ von $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.7

Addiere $- 576 x^{2}$ und $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.8

Schreibe $- 576 x^{2}$ als ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ um.

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Schritt 1.3.1.8.1

Faktorisiere $576$ aus $- 576$ heraus.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.8.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.8.3

Bewege $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.8.4

Schreibe $24^{2} x^{2}$ als ${(24 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Schritt 1.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1.1

Potenziere $- 84$ mit $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.6

Subtrahiere $7056$ von $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.7

Addiere $- 576 x^{2}$ und $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.8

Schreibe $- 576 x^{2}$ als ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ um.

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Schritt 1.4.1.8.1

Faktorisiere $576$ aus $- 576$ heraus.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.8.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.8.3

Bewege $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.8.4

Schreibe $24^{2} x^{2}$ als ${(24 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Schritt 1.4.3

Vereinfache $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Schritt 1.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.5.1.1

Potenziere $- 84$ mit $2$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 4 \cdot 12 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 \cdot (12 x^{2} + 147)}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 48 (12 x^{2}) - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.4

Mutltipliziere $12$ mit $- 48$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 48 \cdot 147}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.5

Mutltipliziere $- 48$ mit $147$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{7056 - 576 x^{2} - 7056}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.6

Subtrahiere $7056$ von $7056$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2} + 0}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.7

Addiere $- 576 x^{2}$ und $0$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{- 576 x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.8

Schreibe $- 576 x^{2}$ als ${(24 x)}^{2} \cdot - 1$ um.

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Schritt 1.5.1.8.1

Faktorisiere $576$ aus $- 576$ heraus.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{576 (- 1) x^{2}}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.8.2

Schreibe $576$ als $24^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} \cdot (- 1 x^{2})}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.8.3

Bewege $- 1$ .

$y = \frac{84 \pm \sqrt{24^{2} x^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.8.4

Schreibe $24^{2} x^{2}$ als ${(24 x)}^{2}$ um.

$y = \frac{84 \pm \sqrt{{(24 x)}^{2} \cdot - 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{84 \pm 24 x \sqrt{- 1}}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.1.10

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{2 \cdot 12}$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $12$ .

$y = \frac{84 \pm 24 x i}{24}$

Schritt 1.5.3

Vereinfache $\frac{84 \pm 24 x i}{24}$ .

$y = \frac{7 \pm 2 x i}{2}$

Schritt 1.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 + 2 x i}{2}$

$y = \frac{7 - 2 x i}{2}$

Schritt 2

Dividiere den ersten Ausdruck durch den zweiten Ausdruck.

$y = \frac{\frac{7 + 2 x i}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere $\frac{7 + 2 x i}{2}$ aus.

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Schritt 3.1

Zerlege den Bruch $\frac{7 + 2 x i}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{7}{2} + \frac{2 x i}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Schritt 3.2

Stelle $\frac{7}{2}$ und $\frac{2 x i}{2}$ um.

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{7 - 2 x i}{2}}$

Schritt 4

Multipliziere $\frac{7 - 2 x i}{2}$ aus.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch $\frac{7 - 2 x i}{2}$ in zwei Brüche.

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{7}{2} + \frac{- 2 x i}{2}}$

Schritt 4.2

Stelle $\frac{7}{2}$ und $\frac{- 2 x i}{2}$ um.

$\frac{\frac{2 x i}{2} + \frac{7}{2}}{\frac{- 2 x i}{2} + \frac{7}{2}}$

Schritt 5

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$\frac{- 2 x i}{2}$

$\frac{7}{2}$

$\frac{2 x i}{2}$

$\frac{7}{2}$

Schritt 6

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $\frac{2 x i}{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $\frac{- 2 x i}{2}$ .

				-	$1$
	$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$

Schritt 7

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			+	$x i$	-	$\frac{7}{2}$

Schritt 8

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x i - \frac{7}{2}$

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			-	$x i$	+	$\frac{7}{2}$

Schritt 9

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$1$
$\frac{- 2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$		$\frac{2 x i}{2}$	+	$\frac{7}{2}$
			-	$x i$	+	$\frac{7}{2}$
					+	$7$

Schritt 10

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$y = - 1 + \frac{7}{\frac{- 2 x i}{2} + \frac{7}{2}}$

Schritt 11