Algebra Beispiele

$(- 1, \frac{1}{4})$ , $(0, 1)$ , $(1, 4)$

Schritt 1

Benutze die allgemeine Form einer quadratischen Gleichung $y = a x^{2} + b x + c$ als den Ausgangspunkt zum Auffinden der Gleichung durch die drei Punkte.

$y = a x^{2} + b x + c$

Schritt 2

Erzeuge ein System von Gleichungen durch Einsetzen der $x$ - und $y$ -Werte jedes Punkts in die Standardformel einer quadratischen Gleichung, um das System mit drei Gleichungen zu bilden.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c, 1 = a {(0)}^{2} + b (0) + c, 4 = a {(1)}^{2} + b (1) + c$

Schritt 3

Löse das Gleichungssystem, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

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Schritt 3.1

Löse in $1 = a \cdot 0^{2} + c$ nach $c$ auf.

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Schritt 3.1.1

Schreibe die Gleichung als $a \cdot 0^{2} + c = 1$ um.

$a \cdot 0^{2} + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache $a \cdot 0^{2} + c$ .

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$a \cdot 0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $0$ .

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$0 + c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $c$ .

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2

Ersetze alle Vorkommen von $c$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Ersetze alle $c$ in $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + c$ durch $1$ .

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$ .

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a {(- 1)}^{2} + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{4} = a \cdot 1 + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{1}{4} = a + b (- 1) + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2.1.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $b$ .

$\frac{1}{4} = a - 1 b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.2.2.1.4

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + c$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $c$ in $4 = a + b + c$ durch $1$ .

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.2.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.1

Entferne die Klammern.

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$4 = a + b + 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.3

Löse in $4 = a + b + 1$ nach $a$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $a + b + 1 = 4$ um.

$a + b + 1 = 4$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $b$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a + 1 = 4 - b$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a = 4 - b - 1$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.3.2.3

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

$a = - b + 3$

$\frac{1}{4} = a - b + 1$

$c = 1$

Schritt 3.4

Ersetze alle Vorkommen von $a$ durch $- b + 3$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Ersetze alle $a$ in $\frac{1}{4} = a - b + 1$ durch $- b + 3$ .

$\frac{1}{4} = (- b + 3) - b + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache $(- b + 3) - b + 1$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Subtrahiere $b$ von $- b$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 3 + 1$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.4.2.1.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$\frac{1}{4} = - 2 b + 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5

Löse in $\frac{1}{4} = - 2 b + 4$ nach $b$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$ um.

$- 2 b + 4 = \frac{1}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $b$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.2

Um $- 4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 2 b = \frac{1}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 b = \frac{1 - 4 \cdot 4}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.2.5.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 2 b = \frac{1 - 16}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.5.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = \frac{- 15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$- 2 b = - \frac{15}{4}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = - \frac{15}{4}$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 b = - \frac{15}{4}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 b}{- 2} = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.2.1.2

Dividiere $b$ durch $1$ .

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{- \frac{15}{4}}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$b = - \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{- 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b = - \frac{15}{4} \cdot (- \frac{1}{2})$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3.3

Multipliziere $- \frac{15}{4} (- \frac{1}{2})$ .

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Schritt 3.5.3.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$b = 1 (\frac{15}{4}) \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{15}{4}$ mit $1$ .

$b = \frac{15}{4} \cdot \frac{1}{2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{15}{4}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$b = \frac{15}{4 \cdot 2}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.5.3.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

$b = \frac{15}{8}$

$a = - b + 3$

$c = 1$

Schritt 3.6

Ersetze alle Vorkommen von $b$ durch $\frac{15}{8}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 3.6.1

Ersetze alle $b$ in $a = - b + 3$ durch $\frac{15}{8}$ .

$a = - (\frac{15}{8}) + 3$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Vereinfache $- (\frac{15}{8}) + 3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + 3 \cdot \frac{8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.6.2.1.2

Kombiniere $3$ und $\frac{8}{8}$ .

$a = - \frac{15}{8} + \frac{3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.6.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a = \frac{- 15 + 3 \cdot 8}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.6.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.2.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$a = \frac{- 15 + 24}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.6.2.1.4.2

Addiere $- 15$ und $24$ .

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

$a = \frac{9}{8}$

$b = \frac{15}{8}$

$c = 1$

Schritt 3.7

Liste alle Lösungen auf.

$a = \frac{9}{8}, b = \frac{15}{8}, c = 1$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte von $a$ , $b$ und $c$ in die Formel für eine quadratische Gleichung ein, um die resultierende Gleichung zu ermitteln.

$y = \frac{9 x^{2}}{8} + \frac{15 x}{8} + 1$

Schritt 5