Algebra Beispiele

$\sqrt{3 x^{5} + 7}$

Schritt 1

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x^{5} + 7 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x^{5} \geq - 7$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{5} \geq - 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{5} \geq - 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{5}}{3} \geq \frac{- 7}{3}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{5}}{3} \geq \frac{- 7}{3}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} \geq \frac{- 7}{3}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{5} \geq - \frac{7}{3}$

Schritt 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[5]{x^{5}} \geq \sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq \sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache $\sqrt[5]{- \frac{7}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Schreibe $- \frac{7}{3}$ als ${({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{7}{3}$ um.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$x \geq \sqrt[5]{{(- 1)}^{5} \frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ als ${(- 1)}^{5}$ um.

$x \geq \sqrt[5]{{({(- 1)}^{5})}^{5} \frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x \geq {(- 1)}^{5} \sqrt[5]{\frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$x \geq - \sqrt[5]{\frac{7}{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{7}{3}}$ als $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ um.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$x \geq - (\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}})$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{7}}{\sqrt[5]{3}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{4}}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{\sqrt[5]{3} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Potenziere $\sqrt[5]{3}$ mit $1$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1} {\sqrt[5]{3}}^{4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{1 + 4}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.4

Addiere $1$ und $4$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{\sqrt[5]{3}}^{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5

Schreibe ${\sqrt[5]{3}}^{5}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.4.2.1.6.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{3}$ als $3^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{{(3^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3^{1}}$

Schritt 1.2.4.2.1.6.5.5

Berechne den Exponenten.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{3}}^{4}}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.7.1

Schreibe ${\sqrt[5]{3}}^{4}$ als $\sqrt[5]{3^{4}}$ um.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt[5]{3^{4}}}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.7.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7} \sqrt[5]{81}}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{7 \cdot 81}}{3}$

Schritt 1.2.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $7$ mit $81$ .

$x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{\sqrt[5]{567}}{3}}$

Schritt 2

Um den Endpunkt der Quadratwurzel zu bestimmen, setze den $x$ -Wert $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ , welcher der Endwert im Definitionsbereich ist, in $\sqrt{3 x^{5} + 7}$ ein.

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Schritt 2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 {(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3})}^{5} + 7}$

Schritt 2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 ({(- 1)}^{5} {(\frac{\sqrt[5]{567}}{3})}^{5}) + 7}$

Schritt 2.2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[5]{567}}{3}$ an.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 ({(- 1)}^{5} (\frac{{\sqrt[5]{567}}^{5}}{3^{5}})) + 7}$

Schritt 2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{{\sqrt[5]{567}}^{5}}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3

Schreibe ${\sqrt[5]{567}}^{5}$ als $567$ um.

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Schritt 2.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{567}$ als $567^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{{(567^{\frac{1}{5}})}^{5}}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567^{\frac{5}{5}}}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.3.5

Berechne den Exponenten.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{3^{5}}) + 7}$

Schritt 2.2.4

Potenziere $3$ mit $5$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (- \frac{567}{243}) + 7}$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{567}{243}$ in den Zähler.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{243}) + 7}$

Schritt 2.2.5.2

Faktorisiere $3$ aus $243$ heraus.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{3 (81)}) + 7}$

Schritt 2.2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{3 (\frac{- 567}{3 \cdot 81}) + 7}$

Schritt 2.2.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{\frac{- 567}{81} + 7}$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.6.1

Dividiere $- 567$ durch $81$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{- 7 + 7}$

Schritt 2.2.6.2

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{0}$

Schritt 2.2.6.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.2.6.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}) = 0$

Schritt 2.2.7

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$y = 0$

Schritt 3

Der Endpunkt der Quadratwurzelfunktion ist $(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, 0)$ .

$(- \frac{\sqrt[5]{567}}{3}, 0)$

Schritt 4